Question

1.Udowodnij ze roznica kwadratow dwoch kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 4.

2.Udowodnij, ze jezeli a jest liczba calkowta to liczba (2a+1)[do potegi drugiej]-1 jest podzielna przez 8.

3.Udowodnij, ze jezeli a jest liczba naturalna to liczba postaci a[do potegi trzeciej]-a jest podzielna przez 6.

Answer 1

1. 2n- I liczba parzysta

2n+2 - druga liczba parzysta

(2n+2)²-(2n)²=4n²+8n+4-4n²=8n+4=4(2n+1) dzieli się przez 4 

2.

a∈C

(2a+1)²-1=4a²+4a+1-1=4a²+4a=4a(a+1)dzieli się przez 8 

3.a∈N

a³-a=a(a²-1)=a(a-1)(a+1) jest to ikoczyn kolejnych liczb naturalnych postaci a-1, a; a+1 

Answer 2

1.

(2n+2)²-(2n)²=4n²+8n+4=4n²= 4(2n+1)=4m, gdzie  m∈N c.n.d.

2.

(2a+1)²-1=4a²+4a=4a(a+1)= 4*2m   m∈C, z liczb a i a+1, a∈C jedna musi byc parzysta, bo sa to kolejne liczby calkowite.

3.

a³-a=a(a²-1)=(a-1)*a*(a+1) = 2*3*b, b∈N (jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, to jedna musi dzielic sie przez 3, a jedna parzysta.