Question

1.Pole powierzchni bocznej prawidłowego ostrosłupa czworokątnego jest równe 544 cm², a pole powierzchni całkowitej 800 cm². Oblicz objętość tego ostrosłupa.
2.Oblicz objętość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego mając dane pole powierzchni bocznej 30 cm² i długość krawędzi podstawy 4 cm.
3. Wszystkie krawędzie prawidłowego ostrosłupa trójkątnego mają tę samą długość, a pole powierzchni całkowitej ostrosłupa równa się 4√3 cm². Oblicz objętośc ostrosłupa.

Answer 1

1.
w podstawie kwadrat
Pb = 544 cm²
Pc = 800 cm²
V = ?

Pc = Pp+Pb
Pb+544 = 800
Pp = 800-544
Pp = 256
Pp = a²
a² = 256
a = √256
a = 16 cm

Pb = 4*1/2a*Hb (Hb- wysokość ściany bocznej)
2*16*Hb = 544
32*Hb = 544
Hb = 17 cm
H²+(1/2a)² = Hb²
H²+8² = 17²
H² = 289-64
H² = 225
H = √225
H = 15 cm

V = 1/3*a²*H
V = 1/3*16²*15
V = 1/3*3840
V = 1280 cm³

2.
w podstawie tr. równoboczny
Pb = 30 cm²
a = 4 cm
V = ?

Pb = 3*1/2a*Hb
3/2*4*Hb = 30
6Hb = 30 |:6
Hb = 5 cm

H²+(1/3h)² = Hb² (h - wysokośc w podstawie)
obliczam h
h = a√3/2
h = 4√3/2 = 2√3
1/3h = 1/3*2√3 = 2√3/3
H²+(2√3/3)² = 5²
H²+4/3 = 25
H² = 25-4/3
H² = 71/3
H = √71 /√3
H = √71*√3/3
H = √213 /3

V = a²√3/12 *H
V = 16√3/12 *√213 /3
V = 4/9 *√3*√213
V = 4/9*√639
V = 4/9*3√71
V = 4√71 /3 cm³

3.
Pc = 4√3 cm²
V = ?
Pc = a²√3
a²√3 = 4√3 |:√3
a² = 4
a = √4
a = 2 cm
H²+(2/3h)² = a²
h = a√3/2
h = 2√3/2
h = √3
2/3*h = 2/3*√3 = 2√3/3
H²+(2√3/3)² = 2²
H²+4/3 = 4
H² = 4-4/3
H² = 8/3
H = √8/√3
H = 2√2/√3
H = 2√6 /3

V = a²√3/12 *H
V = 2²√3/12*2√6 /3
V = 4√3/12*2√6 /3
V = 2/9*√18
V = 2/9*3√2
V = 2√2 /3 cm³