Question

1. Oblicz pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa o podstawie:
a) trójkąta
b) czworokąta
c) sześciokąta
d) ośmiokąta
mając daną wysokość ostrosłupa 12 cm i długość krawędzi podstawy 5 cm.
2.Pole powierzchni bocznej prawidłowego ostrosłupa czworokątnego jest równe 544 cm², a pole powierzchni całkowitej 800 cm². Oblicz objętość tego ostrosłupa.
3.Oblicz objętość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego mając dane pole powierzchni bocznej 30 cm² i długość krawędzi podstawy 4 cm.
4. Wszystkie krawędzie prawidłowego ostrosłupa trójkątnego mają tę samą długość, a pole powierzchni całkowitej ostrosłupa równa się 4√3 cm². Oblicz objętośc ostrosłupa.

Answer 1

1.
H = 12 cm
a = 5 cm

a) trójkąta
Pc = Pp+Pb
H²+(1/3h)² = Hb²
h = a√3/2 = 5√3/2
1/3*5√3/2 = 5√3/6
Hb² = 12²+(5√3/6)²
Hb² = 144+25/12
Hb² = 1753/12
H = √1753/√12
H = √21036/12
Pc = a²√3/4+3/2*a*Hb
Pc = 5²√3/4+3/2*5*√21036/12
Pc = (50√3+5√21036)/8 cm²

b) czworokąta
Pc = a²+2*a*Hb
H²+(1/2a)² = Hb²
Hb² = 12²+2,5²
Hb² = 144+25/4
Hb² = 601/4
Hb = √601/√4
Hb = √601/2

Pc = 25+2*5*√601/2
Pc = 25+5√601
Pc = 5(5+√601) cm²

c) sześciokąta
Pc = Pp+Pb
Pp = 6*a²√3/4
Pp = 6*25√3/4
Pp = 75/2*√3

Hb² = H²+h²
h = a√3/2 = 5√3/2
Hb² = 12²+(5√3/2)²
Hb² = 144+75/4
Hb² = 651/4
Hb = √651 /√4
Hb = √651/2

Pb = 6*1/2aHb
Pb = 3*5*√651/2
Pb = 15√651 /2

Pc = 75/2*√3+15√651 /2 cm²

d) ośmiokąta
Pp = 2(1+√2)*a²
Pp = 2*5²(1+√2)
Pp = 50(1+√2)

obliczam h jednego tr. równoramiennego w podstawie
Pp/8 = 25/4* (1+√2)
1/2*a*h = 25/4* (1+√2)
1/2*5*h = 25/4* (1+√2) |*4
10h = 25(1+√2) |:10
h = 2,5*(1+√2)

z tw. Pitagorasa:
H²+h² = Hb²
Hb² = 12²+[2,5*(1+√2)]²
Hb² = 144+25/4+25/2√2+25/2
Hb² ≈ 180,427
Hb ≈ = √180,427
Hb ≈ = 13,43

Pb = 8*1/2*a*Hb
Pb = 4*5*13,43
Pb ≈ 268,6

Pc = Pp+Pb
Pc = 50(1+√2)+268,6
Pc ≈ 389,31 cm²

2.
w podstawie kwadrat
Pb = 544 cm²
Pc = 800 cm²
V = ?

Pc = Pp+Pb
Pb+544 = 800
Pp = 800-544
Pp = 256
Pp = a²
a² = 256
a = √256
a = 16 cm

Pb = 4*1/2a*Hb (Hb- wysokość ściany bocznej)
2*16*Hb = 544
32*Hb = 544
Hb = 17 cm
H²+(1/2a)² = Hb²
H²+8² = 17²
H² = 289-64
H² = 225
H = √225
H = 15 cm

V = 1/3*a²*H
V = 1/3*16²*15
V = 1/3*3840
V = 1280 cm³

3.
w podstawie tr. równoboczny
Pb = 30 cm²
a = 4 cm
V = ?

Pb = 3*1/2a*Hb
3/2*4*Hb = 30
6Hb = 30 |:6
Hb = 5 cm

H²+(1/3h)² = Hb² (h - wysokośc w podstawie)
obliczam h
h = a√3/2
h = 4√3/2 = 2√3
1/3h = 1/3*2√3 = 2√3/3
H²+(2√3/3)² = 5²
H²+4/3 = 25
H² = 25-4/3
H² = 71/3
H = √71 /√3
H = √71*√3/3
H = √213 /3

V = a²√3/12 *H
V = 16√3/12 *√213 /3
V = 4/9 *√3*√213
V = 4/9*√639
V = 4/9*3√71
V = 4√71 /3 cm³

4.
Pc = 4√3 cm²
V = ?
Pc = a²√3
a²√3 = 4√3 |:√3
a² = 4
a = √4
a = 2 cm
H²+(2/3h)² = a²
h = a√3/2
h = 2√3/2
h = √3
2/3*h = 2/3*√3 = 2√3/3
H²+(2√3/3)² = 2²
H²+4/3 = 4
H² = 4-4/3
H² = 8/3
H = √8/√3
H = 2√2/√3
H = 2√6 /3

V = a²√3/12 *H
V = 2²√3/12*2√6 /3
V = 4√3/12*2√6 /3
V = 2/9*√18
V = 2/9*3√2
V = 2√2 /3 cm³