Question

1.Oblicz pole trójkąta prostokątnego,w którym przeciwprostokątna ma długość 37 cm, a suma długości przyprostokątnych wynosi 47.Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

2.Oblicz pole trojkata, ktorego dwa boki maja dlugosc 10 cm i 14 cm, a kat miedzy nimi ma miare 60 stopni.

3.Oblicz długość boku kwadratu wiedząc,że iloczyn promienia okręgu opisanego i wpisanego w ten kwadrat równa się 10 cm.

Proszę o rozwiązanie z obliczeniami.

Answer 1

Zad. 1

x,y - przyprostokątne

 

z pitagorasa: x²+y² = 37²

z polecenia: x+y =47

 

Układ równań:

{ x²+y² = 37²

 x=47-y

 

{x=47-y

(47-y)²+y²=1369

 

Dalej można albo równanie z jedną niewiadomą wyciągnąć, albo dalej liczyć w układzie, przepisując x. Ja wyciągnę, bo tak będzie mi wygodniej:

 

47²-2*47*y+y²+y²-1369=0

2209-94y+2y²-1369=0

2y²-94y+840=0 /:2

y²-47+420=0

 

Δ=529

√Δ = 23

 

y₁=24/2=12

y₂=70/2=35

 

wracam do układu:

 

{y₁=12              lub         {y₂=35

x₁=47-y₁                          x₂=47-y₂

 

{y₁=12               lub          {y₂=35

x₁=35                                x₂=12

 

Zatem długości mają 12cm i 35cm

 

Pole liczę ze wzoru P=1/2*x*y 

P=1/2*12*25 = 210 cm²

 

Promień liczę ze wzoru P=(a*b*c)/4R

210=(35*12*37)/4R /: 4R

210*4R= 15540 /210*4

R=15540/840 = 18,5 cm

 

Zad.2

P= 1/2 * a *b *sinγ

P=1/2*10*14* √3/2

P=70*√3/2

P=35√3 cm ²

 

Zad.3

 

Promień opisany (R) to połowa przekątnej, promień wpisany (r) to połowa długości boku.

R*r=10cm

 

R= (a√2)/2

r= a/2

 

Zatem

 

(a√2/2) * a/2 = 10

(a²√2)/4 = 10 /*4

a²√2=40 /:√2

a²= 40/√2  /* √2/√2 (usuwam niewymierność)

a²= (40√2)/2

a²=20√2 /√  (bo a>0)

a=2(√5√2) (pierwiastek z 5 pierwiastków z 2) cm