Question

1.Jeśli reszta z dzielenia liczby naturalnej x przez 4 jest równa 3 ,a reszta z dzielenia liczby naturalnej y przez 4 jest równa 2 to reszta z dzielenia liczby 5x+2y przez 4 równa się?

2.Suma cyfr liczby naturalnej dwucyfrowej jest równa 10. Jeśli dopiszemy na końcu tej liczby cyfrę 3 to otrzymamy liczbę większą od danej o 255. Wyznacz tę liczbę.

3. Dane są 3 kolejne liczby naturalne dodatnie z których pierwsza jest podzielna przez 3. Uzasadnij, że reszta z dzielenia sumy kwadratów tych liczb przez 9 jest równa 5.

4.Wykaż, że liczba x=pierwiastek z 8+2pierwiastki z 7 (koniec pierwszego pierwiastka) + 2 pierwiastki z 7 jest liczbą niewymierną.

Answer 1

1.
x, y ∈ N
x = 4k + 3, k ∈ N
y = 4t + 2, t ∈ N

5x + 2y = 5 · (4k + 3) + 2 · (4t + 2) = 20k + 15 + 8t + 4 = 20k + 8t + 19 = 20k + 8t + 16 + 3 = 4 · (5k + 2t  + 4) + 3

Odp. Reszta z dzielenia liczby (5x+2y) przez 4 jest równa 3.

2.
cyfra dziesiątek liczby naturalnej dwucyfrowej: x
cyfra jedności liczby naturalnej dwucyfrowej: y
liczba naturalna dwucyfrowa: 10x + y
liczba po dopisaniu na końcu cyfry 3: 100x + 10y + 3

x + y = 10
y = 10 - x

100x + 10y + 3 = 10x + y + 255
100x - 10x = y + 255 - 10y - 3
90x = - 9y + 252   |:9
10x = - y + 28
10x = - (10 - x) + 28
10x = - 10 + x + 28
10x - x = - 10 + 28
9x = 18  |:9
x = 2

y = 10 - x = 10 - 2 = 8

liczba naturalna dwucyfrowa: 10x + y = 10 · 2 + 8 = 20 + 8 = 28

Odp. Szukana liczba to 28.

3.
trzy kolejne liczby naturalne: n, n + 1, n + 2
n = 3k, k ∈ N
Zatem:
n + 1 = 3k + 1
n+ 2 = 3k + 2

n² + (n + 1)² + (n + 2)² = (3k)² + (3k + 1)² + (3k + 2)² = 9k² + 9k² + 6k + 1 + 9k² + 12k + 4 = 27k² + 18k + 5 = 9 · (3k² + 2k) + 5
Zatem reszta z dzielenia sumy kwadratów tych liczb przez 9 jest równa 5.

4.

Suma liczby niewymiernej i wymiernej jest liczbą niewymierną, co dowodzi, że liczba jest niewymierna.

----------------
Dowód nie wprost, że suma liczby niewymiernej i wymiernej jest liczbą niewymierną
Załóżmy, że suma liczby niewymiernej x i wymiernej y jest liczbą wymierną, czyli da się tę sumę wyrazić za pomocą ułamka k/t. Zatem:
x + y =  k/t
x = k/t - y
Po prawej stronie mamy różnicę dwóch liczb wymiernych, czyli liczbę wymierną, zatem x musiałoby być również liczbą wymierną, co jest sprzeczne z założeniem.

Answer 2

1. 
Liczba w dzieleniu przez 4 dająca resztę 3 ma postać x = 4k + 3, gdzie
Liczba w dzieleniu przez 4 dająca resztę 2 ma postać y = 4k + 2, gdzie
Liczba 5x + 2y = 5(4k + 3) + 2(4k + 2) = 4(7k) + 19 = 4(7k + 4) + 3
A więc szukane wyrażenie daje resztę 3.

2.
x + y = 10
Liczba ta ma wartość 10x + y
Po dopisaniu 3 na końcu otrzymujemy liczbę:
100x + 10y + 3 = 10x + y + 255
90x + 9y = 252
10x + y = 28
Po wstawieniu y = 10 - x, mamy
10x + 10 - x = 28
9x = 18
x = 2
y = 10 - 2 = 8
Szukana liczba to 28.
Sprawdzenie:
283 = 28 + 255

3.
Liczby te to dla dowolnej liczby całkowitej k:
3k, 3k+1, 3k+2
Suma kwadratów liczb:

jest postaci 9n + 5, a więc jest daje w dzieleniu przez 9 resztę 5. 
Cnd.

4.

Jest liczbą niewymierną, ponieważ  jest niewymierny, bo nie można go przedstawić przy pomocy ułamka , w którym p i q są całkowite. Udowodnienie tego można przeprowadzić metodą nie wprost:
Załóżmy, że
, 
Q jest zbiorem liczb wymiernych. Po podniesieniu równania do kwadratu:

jest niepodzielne przez 7 lub podzielne przez parzystą ilość liczby 7. To samo dotyczy . A więc po prawej stronie mamy nieparzystą liczbę podzielników 7, a po lewej parzystą. Równanie więc jest sprzeczne, czyli nie może być pierwiastek z 7 liczbą wymierną.
Pomnożenie liczby niewymiernej przez 2 daje liczbę nadal niewymierną, dodanie 8 nie zmienia faktu i dodanie pierwiastka niewymiernego czyni całe wyrażenie niewymiernym dodatnim. Nawet gdyby jakimś cudem pierwszy składnik był wymierny, to i tak w sumie z drugim składnikiem da liczbę niewymierną.  
Oba składniki musiałyby być przeciwne i dać wartość 0, np.takie przypadki dadzą w wyniku liczbę wymierną: