Question

1.Dany jest wielomian W(x) = x³ + 3x² – 4.
a) Rozłożyć W(x) na czynniki liniowe. Podać pierwiastki tego wielomianu i ilu są krotne.

2. Dany jest wielomian W(x) = –3x³ + m²x² + 5x – 2, gdzie m jest parametrem i m ∈ R.
a) Dla jakich wartości parametru m, reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x – 2) jest równa 20?
b) Ustal wzór wielomianu W(x), jeśli wiadomo, że jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba –1. Następnie oblicz pozostałe pierwiastki wielomianu W(x).

Proszę o rozpisanie i dokładne obliczenia. Oczywiście poprawne rozwiązania nagrodzę.

Answer 1

zadanie 1

a)

 

x₁ = 1 - pierwiastek jednokrotny

x₂ = - 2 - pierwiastek dwukrotny

 

 

zadanie 2

a)

czyli wielomian spełnia warunek W(2) = 20, wynik to z tw. Bezou, ale nie wiem czy je znasz więc wszybkie uzasadnienie:

W(x) = G(x)(x - 2) + 20

W(2) = G(2)(2 - 2) + 20 = 0 + 20 = 20

 

 

b)

najpierw ustalamy wzór:

 

teraz wyliczamy odpowiednie współczynniki:

 

W(x) = (x + 1)(- 3x² + 7x - 2) = 0

Δ = 49 - 24 = 5*5

x₂ =

x₃ =

 

jak masz pytania to pisz na pw

Answer 2

Witam!

1. W(x)=x^3+3x^2-4=x^3-x^2+4x^2-4=x^2(x-1)+4(x^2-1)=x^2(x-1)+4(x-1)(x+1)=(x-1)(x^2+4(x+1))=(x-1)(x^2+4x+4)=(x-1)(x+2)^2

Zapisałem wzór wielomianu W(x) w postaci iloczynowej. Z niej wynika, że wielomian W ma dwa pierwiastki: x=1 (pierwiastek pojedynczy), oraz x=-2 (pierwiastek podwójny)

2. a) Skoro reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x – 2) ma być równa 20 to musi zachodzić W(2)=20. Skoro W(x) = –3x³ + m²x² + 5x – 2, więc W(2) = –3*2³ + m²*2² + 5*2 – 2=20. Otrzymuję następujące równanie:

–3*2³ + m²*2² + 5*2 – 2=20
-24+4m²+10-2=20
4m²=36
m²=9
m=3 lub m=-3

2. b) Skoro jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba –1, więc W(-1)=0, w takim razie: W(-1) = –3*(-1)³ + m²*(-1)² + 5*(-1) – 2=0

3+m²-5-7=0
m²=4
m=2 lub m=-2

W takim razie wielomian W(x) jest dany wzorem W(x) = –3x³ + (-2)²*x² + 5x – 2=-3x³+4x²+5x-2.