Question

1ciąg arytmetyczny bn określony jest wzorem bn=2n-1. oblicz sumę stu początkowych wyrazów ciągu bn.

2ciąg an określonyjest następująco: an=1+2+3+...+2n+(2n+1). oblicz 1 i 10 wyraz ciągu an.

dziękuję za jasne odpowiedzi :)

Answer 1

1)   b n   - ciąg arytmetyczny                       b₁+ b₁₀₀

      b n = 2n -1             S₁₀₀ = ?       S₁₀₀ = ------------- ·100

                                                                         2

Obliczamy  b₁  i  b₁₀₀ ze wzoru ciągu.

 b₁ = 2·1 -1 = 1

 b₁₀₀ = 2·100 - 1 = 200 - 1 = 199

             1 + 199                         200

s₁₀₀ = ------------------- · 100 =  --------- · 100 = 100 · 100 = 10000

                2                                  2

Odp.  Suma 100 początkowych wyrazów tego ciągu wynosi  10000.

 

2)  a n = 1 + 2 + 3 + .. + 2n + (2n+1)                   a₁,  a₁₀ = ?

     Należy sprawdzić , ile pierwszych wyrazów danej sumy trzeba dodać, aby obliczyć  a₁ .

    W tym celu trzeba podstawić  n = 1    (numer wyrazu) do ostatniego wyrazu ciągu:

      2n+1 = 2·1 +1 = 3

   Oznacza to, że należy dodać wyrazy od pierwszego do liczby 3 włącznie  (liczba 3 ma być ostatnią wziętą liczbą) . Czyli:

     a₁ = 1 + 2 + 3 =6

  Teraz  a₁₀.   Analogicznie , podstawiam 10 za n do ostatniego wyrazu:

        2n + 1 = 2·10 +1 = 21

  Oznacza to, że ostatni wyraz, jaki należy dodać to jest 21.

  Zatem  a₁₀ będzie sumą 21 początkowych wyrazów tej sumy. A wyrazy sumy tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r=1.

           1 + 21                 22

 a₁₀ = ------------- · 21 = -------  ·21  = 11 · 21 = 231

             2                        2

Odp.  Wyraz pierwszy tego ciągu to  a₁ = 6,  a wyraz dziesiąty to  a₁₀ = 231.