Question

Wyrazy ciągu arytmetycznego (an) spełniają warunki
a₂+a₄=8
a₇=16
Wiadomo, że wyrazy ak, ak+1, ak+5 (oczywiście k, k+1, k+5 to indeksy dolne) ciągu (an) wzięte w tej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz k.

PROSZĘ O POMOC bo utknęłam :/

Answer 1

Najpierw wyznaczamy ciąg arytmetyczny an= a₁+ (n-1)*r
a₂= a₁+ r
a₄= a₁+ 3r
a₂+ a₄ = a₁+ r+ a₁+ 3r = 2a₁+ 4r = 8, stąd a₁+ 2r = 4
a₇= a₁+ 6r = 16
Mamy układ równań, który rozwiązujemy:
a₁+ 2r = 4
{
a₁+ 6r = 16
a₁= 4 - 2r
{
4 - 2r + 6r = 16, stąd 4r= 12, r= 3
a₁= 4 - 2r= 4 - 2*3 = -2
i r = 3
an = -2+(n-1)*3 = -2 + 3n - 3
wzór an= 3n - 5
wyrazy ak, a(k₊₁), a(k₊₅) naszego ciągu arytmetycznego
(an= 3n-5), są też kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego,
możemy je zapisać:
ak = 3k- 5
a(k₊₁) = 3(k+1) - 5 = 3k+ 3- 5 = 3k- 2
a(k₊₅) = 3(k+5) - 5 = 3k+ 15- 5 = 3k+ 10
i z własności ciągu geometrycznego mamy:
a(k₊₁)/ak = a(k₊₅)/a(k₊₁)
(3k-2)/(3k-5) = (3k+10)/(3k-2) {rozwiązujemy proporcję}
(3k-2)² = (3k-5)(3k+10)
9k²- 12k+ 4 = 9k²+ 30k- 15k- 50
-12k+ 4 = 15k- 50
27k = 54
k = 54:27 = 2
{czyli wyraz a₂= 3*3-5 = 1, a₃= 3*3-5= 4, a₇= 3*7-5 = 16,
więc 1,4,16 tworzą ciąg geometryczny}
Odp. k=2