12,13,14,15zadania prosze robic w podanej kolejnosci z zalacznikow.prosze o pomoc z zad z zalacznika.... Question from @zuccero

September 2018 1 38 Report

12,13,14,15

zadania prosze robic w podanej kolejnosci z zalacznikow.

prosze o pomoc z zad z zalacznika, na czerwono wpisane sa odpowiedzi, bardzo mi zalezy na dokladnym roziwazaniu i wyjasnieniu. licze na odpowiedzi na najwyzszym poziomie. dziekuje

Roma

Zestaw 12

Zad. 3

$\frac{x}{x^2-4} \geq \frac{5}{5x+2}$

Ustalamy dziedzinę

x² - 4 ≠ 0 i 5x + 2 ≠ 0

x² - 4 ≠ 0

(x - 2)(x + 2)≠ 0

x - 2 ≠ 0 i x + 2 ≠

x - 2 ≠ 0

x ≠ 2

x + 2 ≠ 0

x ≠ - 2

5x + 2 ≠ 0

5x ≠ - 2 /:5

x≠ - ⅖

D = R \ {-2; - ⅖; 2}

$\frac{x}{x^2-4} - \frac{5}{5x+2}\geq 0$

$\frac{x(5x+2)}{(x^2-4)(5x+2)} - \frac{5(x^2-4)}{(x^2-4)(5x+2)}\geq 0$

$\frac{5x^2+2x}{(x^2-4)(5x+2)} - \frac{5x^2-20}{(x^2-4)(5x+2)}\geq 0$

$\frac{5x^2+2x - (5x^2-20)}{(x^2-4)(5x+2)} \geq 0$

$\frac{5x^2+2x - 5x^2+20}{(x -2)(x+2)(5x+2)} \geq 0$

$\frac{2x +20}{(x-2)(x+2)(5x+2)} \geq 0$

$(2x + 20)(x - 2)(x+2)(5x+2) \geq 0$

Wyznaczamy pierwiastki

2x + 20 = 0

2x = - 20 /:2

x₁ = -10

x - 2 = 0

x₂ = 2

x + 2 = 0

x₃ = - 2

5x + 2 = 0

5x = - 2 /:5

x₄ = - ⅖

Zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy przybliżony wykres (patrz załącznik), z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności, pamiętając o uwzględnieniu dziedziny:

$x \in (-\infty; \ 10 \rangle \cup (-2; \ -\frac{2}{5}) \cup (2; \ + \infty)$

Zad. 4

W(x) = ax³ + bx² + cx + d

a, b, c, d - ciąg geometryczny o ilorazie q = 2

W(1) = 45

W(1) = a·1³ + b·1² + c·1 + d = a + b + c + d = 45

Z własności ciągu geometrycznego:

b = 2¹·a = 2a

c = 2²·a = 4a

d = 2³·a = 8a

a + b + c + d = 45

a + 2a + 4a + 8a = 45

15a = 45 /:15

a = 3

b = 2·3 = 6

c = 4·3 = 12

d = 8·3 = 24

W(x) = 3x³ + 6x² + 12x + 24

3x³ + 6x² + 12x + 24 = 0

3x²·(x + 2) + 12(x + 2) = 0

(x + 2)(3x² + 12) = 0

x + 2 = 0 ∨ 3x² + 12 = 0

x + 2 = 0

x = - 2

3x² + 12 = 0

3x² = - 12 /:3

x² = - 4

to równanie nie ma rozwiązań, zatem x = - 2, czyli wielomian ma tylko jedno miejsce zerowe.

Zad. 5

Skorzystamy z tw. o dzieleniu wielomianów
Jeśli W(x) oraz P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) oraz R(x), że W(x)=P(x)·Q(x) + R(x), gdzie R(x) = 0 lub st.R(x) < st.P(x)

oraz z tw. o reszcie
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - a) jest równa W(a)

W(x) = x⁴ + x³ + mx² + kx + 8

P(x) = (x + 2)(x - 1)

R(x) = 2x + 8

x⁴ + x³ + mx² + kx + 8 = (x + 2)(x - 1) · Q(x) + (2x + 8)

Zatem dzieląc wielomian W(x) przez dwumian (x + 2) również otrzymamy resztę R(x) i tak samo dzieląc przez dwumian (x - 1)

Stąd na podstawie tw. o reszcie otrzymujemy:

W(-2) = R(-2) i W(1) = R(1)

W(- 2) = (-2)⁴ + (-2)³ + m·(-2)² + k·(-2) + 8 = 16 - 8 + 4m - 2k + 8 = 4m - 2k + 16

R(-2) = 2·(-2) + 8 = - 4 + 8 = 4

4m - 2k + 16 = 4

4m - 2k = 4 - 16

4m - 2k = - 12 /:2

2m - k = - 6

W(1) = 1⁴ + 1³ + m·1² + k·1 + 8 = 1 + 1 + m + k + 8 = m + k + 10

R(1) = 2·1 + 8 = 2 + 8 = 10

m + k + 10 = 10

m + k = 10 - 10

m + k = 0

$\left \{ {{2m - k = - 6} \atop {m + k = 0}} \right$

$\left \{ {{2m - k = - 6} \atop {m = -k}} \right$

$\left \{ {{2 \cdot (-k) - k = - 6} \atop {m = -k}} \right$

$\left \{ {{-2k - k = - 6} \atop {m = -k}} \right$

$\left \{ {{-3k = - 6 \ / \ : \ (-3)} \atop {m = -k}} \right$

$\left \{ {{k = 2} \atop {m = -2}} \right$

Zad . 6

Skorzystamy z tw. o dzieleniu wielomianów i z tw. o reszcie

W(x)=P(x)·Q(x) + R(x) i W(a) = R(a) jeśli (x - a) | W(x)

W(x) = x³ - m²x² + 3mx + 1

P(x) = x + 1

R(x) = - 10

x³ - m²x² + 3mx + 1 = (x + 1) · Q(x) - 10

W(-1) = R(-1)

W(-1) = (-1)³ - m²·(-1)² + 3m·(-1) + 1 = - 1 - m² - 3m + 1 = - m² - 3m

R(-1) = - 10

- m² - 3m = - 10

- m² - 3m + 10 = 0

Δ = 9 + 40 = 49; √Δ = 7

m₁ = (3 - 7) / [2·(-1)] = - 4 / - 2 = 2

m₂ = (3 + 7) / [2·(-1)] = 10 / - 2 = - 5

Zad. 7

W(x) = (m + 3)x⁴ - 2mx² + m - 1

(m + 3)x⁴ - 2mx² + m - 1 = 0

Najpierw sprawdzimy ile pierwiastków będzie miało to równanie dla m = - 3, bo wtedy będzie to równanie kwadratowe i łatwo sprawdzić, czy ma dwa pierwiastki.

Spr.

m = - 3

W(x) = (-3 + 3)x⁴ - 2·(-3)x² - 3 - 1 = 6x² - 4

6x² - 4 = 0

Δ = 0² - 4·6(-4) = 96 > 0, czyli dla m = - 3 wielomian W(x) ma dwa pierwiastki

Sprawdzimy pozostałe przypadki.

Równanie (m + 3)x⁴ - 2mx² + m - 1 = 0 jest dwukwadratowe, podstawmy t = x² i wtedy otrzymujemy:

(m + 3)t² - 2mt + m - 1 = 0

Sprawdźmy kiedy to równanie ma rozwiązani, czyli Δ ≥ 0

Δ = (- 2m)² - 4 · (m + 3) · (m - 1) = 4m² - 4 · (m² - m + 3m - 3) = 4m² - 4 · (m² + 2m - 3) = 4m² - 4m² - 8m + 12 = - 8m + 12

- 8m + 12 ≥ 0

- 8m ≥ - 12 /:(-8)

m ≤ 1,5

Dla m = 1,5 równanie (m + 3)t² - 2mt + m - 1 = 0 będzie miało jeden pierwiastek (Δ = 0), więc równanie wyjściowe (m + 3)x⁴ - 2mx² + m - 1 = 0 bedzie miało dwa pierwiastki

Spr.

(m + 3)t² - 2mt + m - 1 = 0

4,5t² - 3t + 0,5 = 0

Δ = 9 - 9 = 0

t = 3 / 9 = ⅓

x² = ⅓ ⇒ x₁ = √⅓ i x₂ = - √⅓, czyli dla m = 1,5 wielomian W(x) ma dwa pierwiastki

Dla m < 1,5 równanie (m + 3)t² - 2mt + m - 1 = 0 będzie miało dwa pierwiastki (Δ > 0), ale jeśli oba te pierwiastki będą dodatnie to wówczas wielomian bedzie miał cztery pierwiastki, a taką sytuację musimy odrzucić. Dlatego musimy sprawdzić dla jakich m pierwiastki równania (m + 3)t² - 2mt + m - 1 = 0 będą róznych znaków, bo wtedy pierwiastek ujemny (t < 0) odrzucimy ponieważ dla t < 0 równanie t = x² nie ma rozwiązań i równanie wyjściowe (m + 3)x⁴ - 2mx² + m - 1 = 0 bedzie miało tylko dwa pierwiastki.

Aby pierwiastki były różnych znaków to ich iloczyn musi być ujemny, czyli

x₁ · x₂ < 0, na mocy wzorów Viète’a ( x_1 \cdot x $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ otrzymujemy:

$\frac{m - 1}{m + 3} < 0$

$(m - 1)(m + 3) < 0 \wedge m + 3 \neq 0, \ czyli \ m \neq - 3$

$(m - 1)(m + 3) < 0$

Wyznaczmy pierwiastki:

m - 1 = 0 ∨ m + 3 = 0

m = 1 ∨ m = - 3

Rysujemy przybliżony wykres, z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności: m ∈ (-3 ; 1).

Zatem dla m ∈ (-3; 1) równanie (m + 3)t² - 2mt + m - 1 = 0 będzie miało dwa pierwiastki o różnych znakach, czyli równanie wyjściowe (m + 3)x⁴ - 2mx² + m - 1 = 0 bedzie miało dwa pierwiastki.

Uwzględniając wszystkie ustalenia otrzymujęmy:

Wielomian W(x) = (m + 3)x⁴ - 2mx² + m - 1 będzie miał dwa pierwiastki dla

$m \in \langle -3: \ 1) \cup \{1,5\}$

Zad. 8

W(x) = x³ - 9x² + ax

x₁, x₂, x₃ - pierwiastki wielomianu tworzące ciąg arytmetyczny

x₂ = 3

W(3) = 0

W(3) = 3³ - 9·3² + a·3 = 27 - 9·9 + 3a = 27 - 81 + 3a = 3a - 54

3a - 54 = 0

3a = 54 /:3

a = 18

Sprawdzamy, czy wielomian ma 3 pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny.

W(x) = x³ - 9x² + 18x

x³ - 9x² + 18x = 0

x·(x² - 9x + 18) = 0

x = 0 ∨ x² - 9x + 18 = 0

x₁ = 0

x² - 9x + 18 = 0

Δ = 81 - 72 = 9; √Δ = 3

x₂ = (9 - 3) / (2·1) = 6 / 2 = 3

x₃ = (9 + 3) / (2·1) = 12 / 2 = 6

pierwiastki: 0; 3; 6 tworzą ciąg arytmetyczny, bo 2·3 = 0 + 6)

Zad. 9

$W(x) = \sqrt{\frac{4-x}{x^2 -6x}} + \frac{1}{x^2 - x-12}$

Wyznaczamy dziedzinę, czyli zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia występujące w równaniu mają sens liczbowy.

$x^2 -6x \neq 0 \wedge \frac{4-x}{x^2 -6x} \geq 0 \wedge x^2 - x-12 \neq 0$

$x^2 -6x \neq 0$

$x \cdot (x -6) \neq 0$

$x \neq 0 \wedge x \neq 6$

$x \in R \backslash \{0; \ 6\}$

$\frac{4-x}{x^2 -6x} \geq 0$

$(4-x)(x^2 -6x) \geq 0 \wedge x^2 -6x \neq 0$

Wcześniej ustalono, że x² - 6x ≠ 0 dla x ≠ 0 i x ≠ 6

$(4-x) \cdot x \cdot (x -6) \geq 0$

$x \cdot (4 - x) (x - 6) \geq 0$

Ustalamy pierwiastki

x ·(4 - x)(x - 6) = 0

x = 0 ∨ 4 - x = 0 ∨ x - 6 = 0

x₁ = 0

4 - x = 0

- x = - 4 /·(-1)

x₂ = 4

x - 6 = 0

x₃ = 6

Zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy przybliżony wykres (patrz załącznik), z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności, pamiętając o uwzględnieniu, że x ≠ 0 i x ≠ 6:

$x \in (- \infty; \ 0) \cup \langle 4; \ 6)$

$x^2 - x-12 \neq 0$

$\Delta = 1 + 48 = 49; \ \sqrt{\Delta} = 7$

$x_1 = \frac{1-7}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = - 3$

$x_2 = \frac{1+7}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

$x \in R \backslash \{-3; \ 4 \}$

Zaznaczamy wszystkie wyznaczone zbiory na osi i ustalamy dziedzinę jako część wspólną tych zbiorów (patrz załącznik)

$D = \{x: \ x \in (-\infty; \ 0) \cup (4; \ 6) \backslas \{- 3\}\}$

Zad. 10

$\frac{2x+7}{(x - 2)^2} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^2} = \frac{A \cdot (x - 2)}{(x - 2)^2} + \frac{B}{(x - 2)^2} = \frac{A \cdot (x - 2) + B}{(x - 2)^2}$

Stąd:

$\frac{2x+7}{(x - 2)^2} = \frac{A \cdot (x - 2) + B}{(x - 2)^2}$

Ułamki mają jednakowe mianowniki, więc aby były równe muszą mieć równe liczniki, zatem

$2x+7 = A \cdot (x - 2) + B$

$2x+7 =Ax - 2A + B$

Stąd

$2x =Ax \wedge 7 = - 2A + B$

$\left \{ {{Ax = 2x \ / : \ x} \atop {-2A + B = 7}} \right$

$\left \{ {{A = 2} \atop {-2 \cdot 2 + B = 7}} \right$

$\left \{ {{A = 2} \atop {-4+ B = 7}} \right$

$\left \{ {{A = 2} \atop {B = 7+ 4}} \right$

$\left \{ {{A = 2} \atop {B = 11}} \right$

Zestaw 13

Zad. 1

Z treści zadania wiemy, że st.W(x) = 3, czyli ma postać: W(x) = ax³ + bx² + cx + d oraz a > 0, W(x) < 0 dla x ∈ (-∞; 3) i W(5) = 0.

Na tej podstawie możemy naszkicować przybliżony wykres (patrz załącznik) i stwierdzić, że liczba 5 jest 2-krotnym pierwiastkiem, bo wykres się "odbija" od osi Ox w punkcjie (5; 0) - nie może przechodzić przez ten punkt, bo wartości ujemne są dla x ∈ (-∞; 3), zatem liczba 3 jest również pierwiastek wielomianu: W(3) = 0.

Powyższe ustalenia pozwalają nam na zapisanie wzoru wielomianu w postaci:

W(x) = a·(x - 3)(x - 5)²

A należy do wykresu wielomianu W(x)

A = (4, 2)

W(4) = 2

W(x) = a·(x - 3)(x - 5)²

W(4) = a·(4 - 3)(4 - 5)² = a·1·(-1)² = a

a = 2

W(x) = 2·(x - 3)(x - 5)²

$\frac{W(x)}{x + 4} \leq 0$

$\frac{2 \cdot (x - 3)(x - 5)^2}{x + 4} \leq 0$

$2 \cdot (x - 3)(x - 5)^2(x + 4) \leq 0 \wedge x + 4 \neq \to x \neq - 4$

$2 \cdot (x - 3)(x - 5)^2(x + 4) \leq 0 \ / \ : \ 2$

$(x - 3)(x - 5)^2(x + 4) \leq 0$

Wyznaczmy pierwiastki

x - 3 = 0

x = 3

(x - 5)^2 = 0

x - 5 = 0

x = 5 (pierwiastek 2-krotny)

x + 4 = 0

x = - 4

Zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy przybliżony wykres, z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności, pamiętając, że x ≠ - 4:

$x \in (- 4; \ 3 \rangle \cup \{5 \}$

Zad. 2

Skorzystamy z tw. o dzieleniu wielomianów i z tw. o reszcie

W(x) = (x + 3) · Q(x) - 7

W(-3) = - 7

W(4) = 0

W(x) = (x + 3)(x - 4)·Q(x) + R(x)

Dzielimy W(x) przez P(x) = (x + 3)(x - 4), czyli przez wielomian 2 stopnia, zatem reszta będzie wielomianem st. 1, czyli R(x) = ax + b

W(x) = (x + 3)(x - 4)·Q(x) + ax + b

W(-3) = (-3 + 3)(-3 - 4)·Q(x) + a·(-3) + b = 0 - 3a + b

- 3a + b = - 7

W(4) = (4 + 3)(4 - 4)·Q(x) + a·4 + b = 0 + 4a + b = 4a + b

4a + b = 0

$\left \{ {{- 3a + b = - 7 \ / \cdot (-1)} \atop {4a + b = 0}} \right$

$\left \{ {{3a - b = 7} \atop {4a + b = 0}} \right$

____________________

$7a = 7 / \ : \ 7$

$a = 1$

$4a + b = 0$

$4 \cdot 1 + b = 0$

$4 + b = 0$

$b = - 4$

$\left \{ {{a = 1} \atop {b = -4}} \right$

R(x) = ax + b

R(x) = x - 4

Zad. 3

$W(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = _ { x^2 = t} \ t^2 - 4t + 3 = (t - 1)(t - 3) = _{t = x^2} \$

$= (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

Wyrażanie jest dwukwadratowe, więc za x² podstawiliśmy t

t² - 4t + 3

Δ = 16 - 12 = 4; √Δ = 2

t₁ = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1

t₂ = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3

t² - 4t + 3 = (t - 1)(t - 3)

Zad. 4

W(x) = ax³ + bx² + cx + d

a, b, c, d - ciąg arytmetryczny

Z własności ciagu arytmetycznego:

2b = a + c

2c = b + d

W(-2) = - 14

W(-2) = a·(-2)³ + b·(-2)² + c·(-2) + d = -8a + 4b - 2c + d

-8a + 4b - 2c + d = - 14

W( - 1) = 4

W(-1) = a·(-1)³ + b·(-1)² + c·(-1) + d = -a + b - c + d

-a + b - c + d = 4

Mamy układ 4 równań:

$\begin{cases} 2b = a + c\\2c = b + d \\-8a + 4b - 2c + d = - 14 \\-a + b - c + d = 4 \end{cases}$

Wykorzystamy 3 równania (1, 2 i 4) aby określić np. niewiadomą a przez pozostałe niewiadome i podstawimy wyliczenia do równania 3. Zatem mamy:

$\begin{cases} 2b = a + c\\2c = b + d \\-a + b - c + d = 4 \end{cases}$

$\begin{cases} c = 2b - a \\2 \cdot (2b - a) = b + d \\-a + b - (2b - a) + d = 4 \end{cases}$

$\begin{cases} c = 2b - a \\4b - 2a = b + d \\-a + b - 2b + a + d = 4 \end{cases}$

$\begin{cases} c = 2b - a \\d = 3b - 2a \\-b + d = 4 \end{cases}$

$\begin{cases} c = 2b - a \\d = 3b - 2a \\d = b+ 4 \end{cases}$

$\begin{cases} c = 2b - a \\b + 4 = 3b - 2a \\d = b+ 4 \end{cases}$

$\begin{cases} c = 2b - a \\-2b = - 2a - 4 \ / \ : (-2) \\d = b+ 4 \end{cases}$

$\begin{cases} c = 2b - a \\b = a +2 \\d = b+ 4 \end{cases}$

$\begin{cases} c = 2(a + 2) - a \\b = a +2 \\d = a + 2 + 4 \end{cases}$

$\begin{cases} c = 2a + 4 - a \\b = a +2 \\d = a +6 \end{cases}$

$\begin{cases} b = a + 2 \\c = a +4 \\d = a +6 \end{cases}$

Podstawiamy do 3 równania i otrzymujemy:

$-8a + 4b - 2c + d = - 14$

$-8a + 4 \cdot (a + 2) - 2 \cdot (a +4) + (a +6 ) = - 14$

$-8a + 4a + 8 - 2a - 8 + a +6 = - 14$

$-5a +6 = - 14$

$-5a = - 14 - 6$

$-5a = - 20 \ / \ : \ (-5)$

$a = 4$

Stąd:

$\begin{cases} a = 4 \\ b = 4 + 2 \\c = 4 +4 \\d = 4 +6 \end{cases}$

$\begin{cases} a = 4 \\ b = 6 \\c = 8\\d =10 \end{cases}$

Zad. 5
W(x) = x⁴ + mx² + n

W(-3) = W(-2) = W(2) = W(3) = 0

W(x) = (x + 3)(x + 2)(x - 2)(x - 3) = (x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2) = (x² - 9)(x² - 4) = x⁴ - 4x² - 9x² + 36 = x⁴ - 13x² + 36

Stąd (na podstawie równości wielomianów): x⁴ + mx² + n = x⁴ - 13x² + 36 otrzymujemy: m = - 13 i n = 36

Zad. 6

W(x) = - 4x³ + mx² + nx + k

W(x) < 0 dla x ∈ (- 3; 1) u (2; +∞)

Zatem na podstawie przybliżonego wykresu (patrz załącznik) jego miejsca zerowe to: -3; 1; 2, czyli W(-3) = W(1) = W(2) = 0. Stąd otrzymujemy:

$\begin{cases} 108 + 9m - 3n + k = 0\\-4 + m + n + k = 0 \ / \cdot (-1)\\- 32 + 4m + 2n + k = 0 \ / \cdot (-1) \end{cases}$

$\begin{cases} 108 + 9m - 3n + k = 0\\4 - m - n - k = 0\\32 - 4m - 2n - k = 0 \end{cases}$

Dodajemy stronami 1 i 2 oraz 1 i 3 rówanie i otrzymujemy:

$\left \{ {{112+8m-4n = 0 \ / \ : \ (-4)} \atop {140 + 5m -5n = 0 \ / \ : \ 5 }} \right$

$\left \{ {{-28-2m+n = 0} \atop {28+ m -n = 0 }} \right$

__________________

$- m = 0 \ / \cdot (-1)$

$m = 0$

$28+ m -n = 0$

$28+ 0 -n = 0$

$- n = - 28 \ / \cdot (-1)$

$n = 28$

$\left \{ {{m = 0} \atop {n = 28}} \right$

Stąd:

$-4 + m + n + k = 0$

$-4 + 0 + 28 + k = 0$

$24 + k = 0$

$k = - 24$

Zatem:

$\begin{cases} m = 0\\n = 28\\k = -24 \end{cases}$

Zad. 7

W(x) = (5m - 6)x⁴ - (4m - 6)x² + m - 2

(5m - 6)x⁴ - (4m - 6)x² + m - 2 = 0

Równanie jest dwukwadratowe, więc podstawiamy t = x² i mamy równanie kwadratowe:

(5m - 6)t² - (4m - 6)t + m - 2 = 0

Musimy sprawdzić dla jakich m to równanie ma dwa pierwiastki dodatnie, bo tylko wtedy, gdy t₁ i t₂ będą dodatnie, to pierwiastkami wyjściowego równania będą liczby: √t₁; √t₁; -√t₂ i √t₂, czyli rówanie wyjściowe będzie miało 4 pierwiastki. Obliczamy deltę:

Δ = [-(4m - 6)]² - 4 · (5m - 6) · (m - 2) = (4m - 6)² - 4 · (5m² - 10m - 6m + 12) = 16m² - 48m + 36 - 4 · (5m² - 16m + 12) = 16m² - 48m + 36 - 20m² + 64m - 48 = - 4m² + 16m - 12

Aby równanie kwadratowe miało dwa pierwiastki to Δ > 0, stąd

- 4m² + 16m - 12 > 0

Δ = 256 - 192 = 64; √Δ = 8

m₁ = (-16 - 8) / -8 = -24 / -8 = 3

m₂ = (-16 + 8) / -8 = -8 / -8 = 1

a = - 4 < 0, zatem: m ∈ (1; 3)

Jednak musimy sprawdzić dla jakich wartości parametru m oba pierwiastki są dodatnie. Korzystamy ze wzorów Viète'a. Jeśli zarówno suma, jak i iloczyn będą większe od zera to pierwiastki również będą dodatnie. zatem:

t₁ + t₂ > 0 ∧ t₁ · t₂ > 0

$\frac{4 m - 6}{5m - 6} > 0 \wedge \frac{m - 2}{5m - 6} > 0$

$(4 m - 6)(5m - 6) > 0 \wedge (m - 2)(5m - 6) > 0 \wedge 5m - 6 \neq 0 \to m \neq \frac{6}{5} = 1,2$

(4 m - 6)(5m - 6) > 0

4m - 6 = 0

4 m = 6 /:4

m = 1,5

5m - 6 = 0

5m = 6 /:5

m = 1,2

a = 20 > 0, więc ramiona paraboli skierowane w górę, zatem m ∈ (-∞; 1,2) u (1,5; +∞)

(m - 2)(5m - 6) > 0

m - 2 = 0

m = 2

5m - 6 = 0

m = 1,2

a = 5 > 0, więc ramiona paraboli skierowane w górę, zatem m ∈ (-∞; 1,2) u (2; +∞)

Uwzględniając wszystkie warunki:

m ∈ (1; 3) ∧ m ∈ (-∞; 1,2) u (1,5; +∞) ∧ m ∈ (-∞; 1,2) u (2; +∞) ∧ m ≠ 1,2

(patrz załącznik) stwierdzamy, że rówanie kwadratowe będzie miało dwa pierwiastki dodatnie, a tym samym równanie wyjściowe 4 pierwiastki dla:

$m \in (1; \ 1,2) \cup (2; \ 3)$

Zad. 8

W(x) = x³ - 21x² + ax + b

x₁, x₂, x₃ - ciąg geometryczny (pierwiastki wielomianu)

x₁, x₂, x₃ > 0

x₁ = 3

x₁ + x₂ + x₃ = 21

3 + x₂ + x₃ = 21

x₂ + x₃ = 21 - 3

x₂ + x₃ = 18

x₃ = 18 - x₂

Z własności ciągu geometrycznego:

x₂² = x₁ · x₃

x₂² = 3· (18 - x₂)

x₂² = 54 - 3x₂

x₂² + 3x₂ - 54 = 0

Δ = 9 + 216 = 225; √Δ = 15

x₂ = (-3-15) / 2 = -18 / 2 = - 9 < 0 (odrzucamy, bo x₂ > 0)

x₂ = (-3 + 15) / 2 = 12 / 2 = 6

x₃ = 18 - x₂ = 18 - 6 = 12

x₁ = 3; x₂ = 6; x₃ = 12

W(x) = (x - 3)( x - 6)(x - 12)

W(x) · (x - 3) > 0

(x - 3)( x - 6)(x - 12)(x - 3) > 0

(x - 3)²( x - 6)(x - 12) > 0

Ustalamy pierwiastki

(x - 3)² = 0

x - 3 = 0

x = 3 ( pierwiastek 2-krotny)

x - 6 = 0

x = 6

x - 12 = 0

x = 12

Zaznaczmy pierwiastki na osi i rysujemy przybliżony wykres (patrz załącznik), z którego odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$x \in (- \infty; \ 3) \cup (3; \ 6) \cup (12; \ + \infty)$

Zad. 9

$F(x) = \frac{4x+5}{\sqrt{mx^2 + mx+3}}$

Dziedzną będzie taki zbiór x, w którym

$\sqrt{mx^2 + mx+3} \neq 0 \wedge mx^2 + mx+3 \geq 0$

Zatem:

$mx^2 + mx + 3 > 0$

g(x) = mx² + mx + 3 jest to funkcja kwadratowa i aby g(x) > 0, czyli aby jej wartości były większe do zera to a > 0 i Δ < 0

a = m > 0

Δ = m² - 4 · m · 3 = m² - 12m < 0

m² - 12 m < 0

m · (m - 12) < 0

ustalamy miejsca zerowe:

m = 0 i m - 12 = 0

m = 0 i m = 12

Ramiona paraboli skierowane w górę, zatem m ∈ (0; 12)

Zestaw 14

Zad. 10

$f(x) = \frac{x + a}{x + b}$

a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ f(a) = f(b) ⇒ a = b

$f(a) = \frac{a + a}{a + b} = \frac{2a}{a + b}$

$f(b) = \frac{b+ a}{b+ b} = \frac{a + b}{2b}$

$\frac{2a}{a + b} = \frac{a + b}{2b}$

$\frac{2a}{a + b} - \frac{a + b}{2b} = 0$

$\frac{2a \cdot 2b }{2b \cdot (a + b)} - \frac{(a + b)(a+b)}{2b \cdot (a + b)} = 0$

$\frac{4ab }{2b \cdot (a + b)} - \frac{(a + b)^2}{2b \cdot (a + b)} = 0$

$\frac{4ab - (a + b)^2}{2b \cdot (a + b)} = 0 \ / \cdot [2b \cdot (a + b)]$

$4ab - (a + b)^2 = 0$

$4ab - (a^2 + 2ab + b^2) = 0$

$4ab - a^2 - 2ab - b^2 = 0$

$- a^2 + 2ab - b^2 = 0 \ / \cdot (-1)$

$a^2 - 2ab + b^2 = 0$

$(a- b)^2 = 0$

$a - b = 0$

$a = b$

Zestaw 15

Zad. 1

W(x) = x⁴ + x³ - 6x² - 4x + 8

Rozłożymy wielomian na czynniki korzystając z tw. Bezoute'a.

W(1) = 1⁴ + 1³ - 6·1x² - 4·1 + 8 = 1 + 1 - 6 - 4 + 8 = 0

(x⁴ + x³ - 6x² - 4x + 8) : (x - 1) =

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & +1 & +1 & -6 & -4 & + 8 \\ \hline \cdot 1& & +1 & +2& -4 & -8 \\ \hline & +1 & +2&-4 & -8& 0 \\ \hline \end{tabular}$

= x³ + 2x² - 4x - 8

Stąd:

x⁴ + x³ - 6x² - 4x + 8 = (x - 1)(x³ + 2x² - 4x - 8) = (x - 1)[x²·(x + 2) - 4 · (x + 2)] = (x - 1)(x + 2)(x² - 4) = (x - 1)(x + 2)(x + 2)(x - 2)

Zad. 2

W(x) = 3x³ + kx² + mx + 5

W(1) = 0

(x - 2) | W(x) ⇒ R(x) = 17

Skorzystamy z tw. o dzieleniu wielomianów i z tw. o reszcie

W(1) = 3·1³ + k·1² + m·1 + 5 = 3 + k + m + 5 = k + m + 8

W(1) = 0

k + m + 8 = 0

k + m = - 8

W(2) = 3·2³ + k·2² + m·2 + 5 = 24 + 4k + 2m + 5 = 4k + 2m + 29

W(2) = 17

4k + 2m + 29 = 17

4k + 2m = 17 - 29

4k + 2m = - 12 /:2

2k + m = - 6

$\left \{ {{ k + m = - 8 \ / \cdot (-1)} \atop {2k + m = -6}} \right$

$\left \{ {{- k - m = 8} \atop {2k + m = -6}} \right$

_____________________

$k = 2$

$k + m = - 8$

$2 + m = - 8$

$m = - 8 - 2$

$m = - 10$

$\left \{ {{k=2} \atop {m = - 10}} \right$

Stąd:

W(x) = 3x³ + 2x² - 10x + 5

3x³ + 2x² - 10x + 5 = 0

Wiemy, że W(x) jednym z pierwiastków jest liczba 1, stąd

(3x³ + 2x² - 10x + 5) : (x - 1) =

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline & +3 & +2 & -10 & + 5 \\ \hline \cdot 1& & +3 & +5& -5 \\ \hline & +3 & +5& -5& 0 \\ \hline \end{tabular}$

= 3x² + 5x - 5

Zatem:

3x³ + 2x² - 10x + 5 = 0

(x - 1)(3x² + 5x - 5) = 0

x - 1 = 0 ∨ 3x² + 5x - 5 = 0

x - 1 = 0

x₁ = 0

3x² + 5x - 5 = 0

Δ = 25 + 60 = 85; √Δ = √85

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{85}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - \sqrt{85}}{6}$

$x_3 = \frac{-5 + \sqrt{85}}{2 \cdot 3} = \frac{-5+ \sqrt{85}}{6}$

Zad. 3

$W(x) = \frac{\sqrt{16 - x^2}}{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}$

$16 - x^2 \geq 0 \wedge x^3 + 4x^2 - 9x - 36 \neq 0$

$16 - x^2 \geq 0$

$(4 - x)(4 + x) \geq 0$

Ustalamy pierwiastki:

4 - x = 0 i 4 + x = 0

4 - x = 0

- x = - 4 /·(-1)

x = 4

4 + x = 0

x = - 4

Zazanaczmy pierwiastki na osi i rysujemy przybliżony wykres, z którego odczytujemy rozwiązanie (patrz załącznik):

$x \in \langle -4; \ 4 \rangle$

$x^3 + 4x^2 - 9x - 36 \neq 0$

$x^2 \cdot (x + 4) - 9 \dot (x +4) \neq 0$

$(x + 4) (x^2- 9) \neq 0$

$(x + 4) (x- 3)(x + 3) \neq 0$

x + 4 ≠ 0 i x - 3 ≠ 0 i x + 3 ≠ 0

x ≠ - 4 i x ≠ 3 i x ≠ - 3

$x \in R \backslash \{-4; \ -3; \ 4 \}$

Zaznaczamy wyznaczone zbiory na osi i ustalamy dziedzinę jako część wspólną tych zbiorów (patrz załącznik):

$D = \{x: \ x \in (-4; 4 \rangle \backslas \{- 3; \ 3 \}\}$

Zad. 4

$W(x) = \frac{(x^5 - 1)(x^2 + 6x + 5)}{(x^4 - 1)(x^2 + 5x)}$

x² + 6x + 5 = ?

Δ = 36 - 20 = 16; √Δ = 4

x₁ = (-6 - 4) / 2 = - 5

x₂ = (-6 + 4) / 2 = - 1

x² + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1)

$W(x) = \frac{(x^5 - 1)(x^2 + 6x + 5)}{(x^4 - 1)(x^2 + 5x)} = \frac{(x^5 - 1)(x^+5)(x + 1)}{(x^2 - 1)(x^2 + 1) \cdot x \cdot (x + 5)} = \frac{(x^5 - 1)(x^+1)}{x(x^2 - 1)(x^2 + 1)} =$

$= \frac{(x^5 - 1)(x^+1)}{x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{x^5 - 1}{x(x - 1)(x^2 + 1)} = \frac{(x-1)(x^4 +x^3 + x^2 +x + 1)}{x(x - 1)(x^2 + 1)} =$

$= \frac{x^4 +x^3 + x^2 +x + 1}{x(x^2 + 1)}$

Zad. 5

Skorzystamy z tw. o dzieleniu wielomianów i z tw. o reszcie

Z treści zadania wiemy:

W(x) = (x + 2) · Q₁(x) + 5 ⇒ W(- 2) = 5

W (x) = (x - 2) · Q₂(x) + 1 ⇒ W(2) = 1

W(x) = (x - 1) · Q₃(x) - 3 ⇒ W(1) = - 3

W(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 1) · Q(x) + R(x)

P(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 1) = (x² - 4)(x - 1) = x³ - x² - 4x + 4, czyli P(x) jest wielomianem stopnia 3, zatem szukana reszta R(x) będzie wielomianem 2 stopnia, czyli R(x) = ax² + bx + c

Stąd

W(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 1) · Q(x) + ax² + bx + c

W(- 2) = (-2 - 2)(- 2 + 2)(- 2 - 1) · Q(x) + a·(-2)² + b·(-2) + c = 4a - 2b + c

W(-2) = 5

4a - 2b + c = 5

W(2) = (2 - 2)(2 + 2)(2 - 1) · Q(x) + a·2² + b·2 + c = 4a + 2b + c

W(2) = 1

4a + 2b + c = 1

W(1) = (1 - 2)(1 + 2)(1 - 1) · Q(x) + a·1² + b·1 + c = a + b + c

W(1) = - 3

a + b + c = - 3

$\begin{cases} 4a-2b+c = 5\\4a+2b+c = 1\\a+b+c = - 3 \ / \cdot 2 \end{cases}$

$\begin{cases} 4a-2b+c = 5\\4a+2b+c = 1\\2a+2b+2c = - 6 \end{cases}$

Dodajemy stronami I i II oraz I i III

$\left \{ {{8a + 2c = 6 \ / \cdot 3} \atop {6a + 3c = -1 \ / \cdot (-2)}} \right$

$\left \{ {{24a + 6c = 18} \atop {-12a -6c = 2}} \right$

_______________________

$12a = 20 \ / \ : \ 12$

$a = \frac{20}{12}$

$a = \frac{5}{3}$

$6a + 3c = -1$

$6 \cdot \frac{5}{3} + 3c = -1$

$10+ 3c = -1$

$3c = -1 -10$

$3c = -11 \ / \ : \ 3$

$c = - \frac{11}{3}$

$a+b+c = - 3$

$\frac{5}{3}+ b - \frac{11}{3} = - 3$

$- \frac{6}{3}+b = - 3$

$- 2 + b= - 3$

$b = - 3 + 2$

$b = - 1$

$\begin{cases} a = \frac{5}{3} \\b = - 1 \\c = - \frac{11}{3} \end{cases}$

$R(x) = ax^2 + bx + c$

$R(x) = \frac{5}{3}x^2 -x - \frac{11}{3}$

Zad. 1

$W(x) = (x-1) (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = x^7 - 1$

$G(x) = x^7 + (3a + 2b)x^5 - 5a - 4b$

$W(x) = G(x)$

$x^7 - 1 = x^7 + (3a + 2b)x^5 - 5a - 4b$

Stąd:

$\left \{ {{3a + 2b = 0 \ / \cdot 2} \atop {-5a-4b = - 1}} \right$

$\left \{ {{6a + 4b = 0} \atop {-5a-4b = - 1}} \right$

_____________________

$a = - 1$

$3a + 2b = 0$

$3 \cdot (-1) + 2b = 0$

$-3 + 2b = 0$

$2b = 3 \ / \ : \ 2$

$b = 1,5$

$\left \{ {{a = - 1} \atop {b = 1,5}} \right$

Zad. 2

W(x) = (x² + x - 20)(x - m² - 6m)

(x² + x - 20)(x - m² - 6m) = 0

x² + x - 20 = 0 ∨ x - m² - 6m = 0

x² + x - 20 = 0

Δ = 1 + 80 = 81; √Δ = 9

x₁ = (- 1 - 9) / 2 = - 5

x₂ = (-1 + 9) / 2 = 4

Jak widać z pierwszego wyrażenia otrzymaliśmy dwa pierwiastki, więc aby wielomian miał tylko dwa pierwiastki drugie wyrażenia musi być równe zero.

Stąd:

x₁ = - 5

x - m² - 6m = 0

- 5 - m² - 6m = 0

- m² - 6m - 5 = 0

Δ = 36 - 20 = 16; √Δ = 4

m₁ = (6 - 4) / - 2 = - 1

m₂ = (6 + 4) / - 2 = - 5

x₂ = 4

x - m² - 6m = 0

4 - m² - 6m = 0

- m² - 6m + 4 = 0

Δ = 36 + 16 = 52; √Δ = √52 = √4·13 = 2√13

m₃ = (6 - 2√13) / -2 = - 3 + √13

m₄ = (6 + 2√13) / -2 = - 3 - √ 13

Zatem: m₁ = - 1; m₂ = - 5; m₃ = - 3 + √13; m₄ = - 3 - √ 13

2 votes Thanks 2

podaj przykład liczby dodatniej i mniejszej od 1 zapisanej w postaci rozwinięcia okresowego wyłącznie cyframi 0 i 1 , która jest a) dodatnia i mniejsza od 1/20b) większa od 1/10 i mniejsza od 1

Answer

zuccero November 2018 | 0 Replies

Podaj przykład liczby o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym, zapisanej wyłącznie przy użyciu cyfr 0 i 1a) wymiernejb) niewymiernej

Answer

zuccero November 2018 | 0 Replies

Czy suma dwóch ułamków dziesiętnych okresowych może być liczbą niewymiernąuzasadnienie na podstawie przykladu

Answer

zuccero November 2018 | 0 Replies

Na początku roku szkolnego 12 uczniów z 30-osobowej klasy umiało grać w siatkówkę. Pod koniec roku w siatkówkę grało już 20 osób. a) O ile procent wzrosła liczba uczniów umiejących grać? (66 2/3)b) o ile procent zmalała liczba uczniów nieumiejących grać w siatkówkę? (44 4/9)bardzo dokladne obliczenia

Answer

zuccero November 2018 | 0 Replies

4zmieszano 8 litrow roztworu zawierajacego 40% soli i 12 l roztworu zawierajacego 30% soli. oblicz ile procent soli zawiera nowy roztwor.odp: 34%dokladne obliczenia

Answer

zuccero November 2018 | 0 Replies

31dwa boki dziewieciokata foremnego przedluzamy jak na rysunku. oblicz miare utworzonego w ten sposob kata alfa.dokladne obliczenia+rysunekodp 60*

Answer

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

podaj przykład liczby dodatniej i mniejszej od 1 zapisanej w postaci rozwinięcia okresowego wyłącznie cyframi 0 i 1 , która jest a) dodatnia i mniejsza od 1/20b) większa od 1/10 i mniejsza od 1

Podaj przykład liczby o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym, zapisanej wyłącznie przy użyciu cyfr 0 i 1a) wymiernejb) niewymiernej

Czy suma dwóch ułamków dziesiętnych okresowych może być liczbą niewymiernąuzasadnienie na podstawie przykladu

oblicz:

4. dany jest ciag geometryczny an, w ktorym S1=2, S2=3. oblicz iloraz ciagu. dokladne obliczenia

rozwiaz rownanie:

rozloz wielomian na czynniki:

4zmieszano 8 litrow roztworu zawierajacego 40% soli i 12 l roztworu zawierajacego 30% soli. oblicz ile procent soli zawiera nowy roztwor.odp: 34%dokladne obliczenia

31dwa boki dziewieciokata foremnego przedluzamy jak na rysunku. oblicz miare utworzonego w ten sposob kata alfa.dokladne obliczenia+rysunekodp 60*

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social