Question

11.prosze o pomoc z zad z zalacznika, na czerwono wpisane sa odpowiedzi, bardzo mi zalezy na dokladnym roziwazaniu i wyjasnieniu. licze na odpowiedzi na najwyzszym poziomie. dziekuje

Answer 1

Zad. 4

66 | 231 (taki zapis jest w treści zadania) i nie można tego uzasadnić, bo liczba 66 nie jest dzielnikiem liczby 231.

Prawdopodobnie jest błąd w druku i miałobyć: 66 | 23!

 

Rozkładamy liczbę 66 na czynniki pierwsze

66 | 2

33 | 3

11 | 11

66 = 2 · 3 · 11

 

23! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · ... 21 · 22 · 23

 

 

Jak widać, wśród czynników iloczynu znajdują się wszystkie czynniki pierwsze liczby 66, zatem 66 jest dzielnikiem liczby 23!, co zapisujemy 66 | 23!

 

Zad. 5

 

Zad. 6

a, b, c, d cyfry liczby czterocyfrowej

1000a + 100b + 10c + d - liczba czterocyfrowa

1000d + 100c + 10b + a - liczba czterocyfrowa zapisana w odwrotnej kolejności

 

9 | [1000a + 100b + 10c + d  - (1000d + 100c + 10b + a)]

 

1000a + 100b + 10c + d  - (1000d + 100c + 10b + a) = 1000a + 100b + 10c + d  - 1000d - 100c - 10b - a = 999a + 90b - 90c - 999d = 9 · (111a + 10b - 10c - 111d)

Jeżeli w iloczynie jeden czynnik jest podzielny przez daną liczbę, to cały iloczyn jest podzielny przez tę liczbę.

Na tej podstawie możemy stwierdzić, że różnica liczby jest podzielna przez 9.

 

Zad. 7

Rozłożymy  wielomian x³ + 2x²- 7x + 4 na czynniki korzystając z tw. Bezoute'a.

Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - p).

Pierwiastkiem wielomianu W(x) jest liczba, dla której wartość wielomianu jest równa zero, czyli W(a) = 0

W(x) = x³ + 2x²- 7x + 4

W(1) = 1³ + 2·1²- 7·1 + 4 = 1 + 2 - 7 + 4 = 0, zatem wielomian W(x) jest podzielny przez (x - 1)

 

(x³ + 2x²- 7x + 4) : (x - 1) =

= x² + 3x - 4

zatem:

(x³ + 2x²- 7x + 4) = (x - 1)(x² + 3x - 4)

Sprawdzimy czy trójmian x² + 3x - 4możemy zapisać w postaci iloczynowej.

Δ = 9 + 16 = 25; √Δ = 5

x₁ = (-3 - 5) / 2 = -8 : 2 = - 4

x₂ = (-3 + 5) / 2 = 2 : 2 = 1

x² + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)

zatem:

(x³ + 2x²- 7x + 4) = (x - 1)(x - 1)(x + 4)

Wyznaczamy pieriwastki:

x - 1 = 0

x = 1 (pierwiastek 2-krotny)

x + 4 = 0

x = - 4

zaznaczamy pierwiastki w układzie współrzędnych (patrz załącznik) i odczytujemy rozwiązanie nierówności:

Zatem największą liczbą całkowitą niespełniającą danej nierówności jest liczba - 5.

 

Zad. 8

|x - 1| > 5

x - 1 > 5 lub x - 1 < - 5

x > 6 lub x < - 4

x ∈ (- ∞; - 4) u (6; + ∞)

A = (- ∞; - 4) u (6; + ∞)

 

-x⁴ + x² ≤ 0

- x²·(x² - 1) ≤ 0

wyznaczamy pierwiastki

- x² = 0

x = 0 (pierwiastek 2-krotny)

x² - 1 = 0

(x - 1)(x + 1) = 0

x - 1 = 0

x = 1

x + 1 = 0

x = - 1

zaznaczamy pierwiastki w układzie współrzędnych (patrz załącznik) i odczytujemy rozwiązanie nierówności:

B  = (- ∞; 1> u {0} <1; + ∞)

 

Zaznaczamy zbiory A i B na osi (patrz załącznik) i odczytujemy:

 

Zad. 9

2x - 1 = 0 lub x² + x- 3 = 0

2x - 1 = 0

2x = 1 /:2

x = ½ ∈ W

x²+ x- 3 = 0

Δ = 1 + 12 = 13; √Δ = √13

x₁ = (- 1 - √13) / 2 ∉ W

x₂ = (-1 + √13) / 2 ∉ W

Zatem do zbioru liczb wymiernych należy tylko x = ½

 

Zad. 10