Question

1. Wyznacz współczynniki wielomianu wiedząc, że liczby 2 i -3 są jego pierwiastkami.

2. Suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest 12 razy większa od kwadratu środkowej z nich zwiększonego o 2. Wyznacz te liczby.

Proszę o rozwiązanie i WYJAŚNIENIE (dokładne). Pozdrawiam i z góry dzięki.

Answer 1

1)2 i -3 to pierwiastki wielomianu, dlatego:

   W(2)=0

   W(-3)=0

podstawiamy 2 za x  i -3 za x i mamy układ równan:

 

                   {  -(2)³+a₂*2²+5*2+a₀ = 0

                   {  -(-3)³ + a₂*(-3)²+5*(-3)+a₀ = 0

 

                   {-8+4a₂+10+a₀=0

                   { 27 +9a₂-15+a₀ = 0

 

                   {4a₂+a₀ = -2      /*(-1)

                   {9a₂+a₀ = -12 

 

                   {-4a₂-a₀=2

                   {9a₂+a₀ = -12

 

                       5a₂ = -10   /:5

                        a₂=-2

 

                     4a₂+a₀=-2

                            a₀=-2-4*(-2)

                            a₀=-2+8

                            a₀=6

         odp:

 {a₀ = 6

 {a₂ = -2

 

2)

 

 x = liczba naturalna

x+1 = 2 liczba naturalna  (środkowa)

x+1+1=x+2 = 3 liczba natyralna

 

suma szescianów jest 12 * większa od kwadratu srodkowej + 2  :

                  

x³ + (x+1)³+(x+2)³     =          12[(x+1)²+2]

 

 wzór na szescian sumy :

(a+b)³ = a³+3a²b + 3ab²+b³

 

więc:

 

  x³ + (x³+3x²+3x+1)+(x³+6x²+12x+8) = 12[(x²+2x+1 )+2]

  3x³+9x²+15x+9  = 12x²+24x+36

 3x³-3x²-9x-27 = 0         /:3

  x³-x²-3x-9=0

  - x²  zamienam  na  -3x²+2x²  : 

  x³-3x²+2x²-6x+3x-9=0

  x²(x-3)+2x(x-3)+3(x-3) = 0

  (x-3)(x²+2x+3)=0

  x-3=0     U            x²+2x+3=0

   x=3 ∈ N                  Δ=4-12=-8 < 0 ,  brak rozwiązania

 

x=3  1 liczba 

x+1=3+1=4          2 liczba

x+2=3+2=5          3 liczba

spr:

 

x³+(x+1)³+(x+2)³ = 12[(x+1)²+2]

3³+(3+1)³+(3+2)³=12[(3+1)²+2]

27 + 64  + 125  =  12[16+2]

                    216  = 12*18

                      216  = 216

                            l=p

 odp:

 pierwsza liczba to 3 , druga to 4 a trzecia to 5