Question

1. Wykaż że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych dokładnie jedna jest podzielna przez 3.

2. Liczba naturalna n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, a przy dzieleniu przez 7 resztę 5. Wyznacz resztę z dzielenia tej liczby przez 21.

Answer 1

Załącznik.

Answer 2

1. Wykaż że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych dokładnie jedna jest
podzielna przez 3.
2n:2n + 2:2n + 4 - trzy kolejne parzyste liczby naturalne.
Jeżeli 3 | n to 3 | 2n . Tym samym nie podzieli 2n+2,  2n+4, bo 3 nie dzieli ani prez 2 i 4
Jeżeli 3 się nie podzieli 2n, to znaczy że 3 dzieli albo 2n +1, albo 3 dzieli 2n + 2 .
Jeżeli dzieli 2n + 2 to mamy tezę. Jeśli nie to pytanie czy 3 dzieli 2n + 4 ?
Tak, ponieważ: 3 | 2n +1 czyli 2n +1 = 3k ; k jest naturalne.
Zauważmy, że 2n + 4 = (2n +1)+ 3 . 3|2n+1 i 3|3 czyli 3|2n+4
2. Liczba naturalna n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, a przy dzieleniu przez
7 resztę 5. Wyznacz resztę z dzielenia tej liczby przez 21.
Niech nÎ N.
( )
7 | ( 5)
3 | 2
-
-
n
n
Zatem:
7 6 21 14 2* 21 30 21( 2 ) 16 21( 2 ) 21 5 21( 2 1) 5
6 2* 21 30
3 21 15 | *2
7 21 14
7 5 | *3
3 2 | *7
= - = + - - = - - = - - + = - - +
= +
= +
= +
= +
= +
n n n a b a b a b a b
n b
n b
n a
n b
n a
Reszta więc będzie wynosić 5