Question

1. Uzasadnij, że liczby naturalnej parzystej niepodzielnej przez
4, nie można zapisać jako różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych.
2.
Udowodnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych nie
może być kwadratem liczby naturalnej.

Answer 1

1.
Taka liczba jest postaci 4n+2 i przy dzieleniu przez 4 daje reszte 2.
Roznica kwadratow dwoch liczb naturalnych mozna zapisac:
(2k)²-(2m)²=4k²-4m² = 4(k²-m²) reszta z dzielenia przez 4 jest rowna 0.
lub
(2k+1)²-(2m)²=4k²+4k+1-4m²=4(k²+k-m²)+1 reszta z dzielenia przez 4 jest rowna 1
lub
(2k+1)²+(2m+1)²=4k²+4k+1-4m²-4m-1=4(k²+k-m²+m) reszta z dzielenia przez 4 jest rowna 0.
Rozpatrujac wszystkie przypadki, gdy badamy roznice kwadratow liczb naturalnych, ktore sa parzyste lub nieparzyste, w zadnym przypadku przy dzieleniu przez 4 nie otrzymamy reszty 2.
2.
n²+(n+1)²+(n+2)²=n²+n²+2n+1+n²+4n+4=3n²+6n+5=3(n²+2n+1)+2=3k+2
Kwadrat zadnej liczby naturalnej nie ma cyfry jedności rownej 2. Należy jeszcze wykazac, ze reszta z dzielenia kwadratu liczby naturalnej przez 3 nie ma reszty rownej 2.
(3k+2)² =9k² +12k+4=3(3 k²+4k+1)+1=3m+1  reszta 1.