Question

1. Udowodnij, że liczba 2006^2 +2007^2 +2006^2*2007^2 jest kwadratem liczby naturalnej.
2. Czy któraś z liczb 41, 401, 4001, 40001, ...(itd). jest kwadratem liczby naturalnej ?
3. Wyznaczyć liczbę dzielników naturalnych liczby 5^2005+5^2006+5^2007.

Answer 1

1. Podstawiam pod liczbę 2006 liczbę a. Nasza liczba ma wtedy postać:

czyli jest kwadratem liczby naturalnej, konkretnie jest to (2006^2+2006+1)^2

 

2.Każda  z tych liczb ma sumę cyfr równą 5 - z tego wniosek, że daje przy dzieleniu przez 3 resztę 2. Każdy kwadrat liczby naturalnej przy dzieleniu przez 3 musi dawać resztę 1, więc dana liczba nie może być kwadratem.

 

3.Liczbę możemy zapisać w postaci(wyłączając przed nawias 5^2005):

Dzielnikami tej liczby są 31 oraz {5,25,125,...,5^2005} oraz {31*5,31*25,31*125,...,31*5^2005} oraz oczywiście liczba 1.

Dzielników jest:1+2005+2005+1=4012