Question

1. trzy liczby tworza ciag arytemtyczny. suma tych liczb jest rowna 15 , jesli do pierwszej liczby dodamy 5, a do drugiej 3 , a do trzeciej 19 , to otrzymamy ciag geometryczny. wyznacz te liczby.


2. wyznacz takie liczby x , y , aby ciag (27, x, y, )byl geometryczny , a ciag ( x, y, -3) - arytmetyczny.


3. pierwszy , siodmy , i trzydziesty pierwszy , wyraz ciagu arytemtycznego sa rowne odpowiednio pierwszemu , drugiemu,i trzeciemu wyrazowi ciagu geometrycznego . pierwszy wyraz ciagu arytmetycznego jest rowny 4 . wyznacz sume poczatkowych wyrazow tego ciagu.



prosze o dokladne odpowiedzi , daje naj

Answer 1

Zadanie 1
z arytmetycznego:
a
a + r
a + 2r
3a + 3r = 15 => a + r = 5

z geometrycznego:
(a + r + 3)² = (a + 5)(a + 2r + 19)
(5 + 3)² = (a + 5)(- a + 29)
64 = - a² + 24a + 145
a² - 24a - 81 = 0
Δ = 576 + 324 = 30*30
a₁ = - 3, a + r = 5, a + 2r = 13
a₂ = 27, a + r = 5, a + 2r = - 17

zadanie 2
z arytmetycznego:
y - x = - 3 - y => x = 2y + 3

z geometrycznego:
x*x = 27*y
(2y + 3)² = 27y
4y² - 15y + 9 = 0
Δ = 225 - 144 = 9*9
y₁ = 0,75, x = 4,5
y₂ = 3, x = 9

zadanie 3
z arytmetycznego:
a = 4
a + 2r = 4 + 2r
a + 6r = 4 + 6r

z geometrycznego:
(4 + 2r)² = 4(4 + 6r)
16 + 16r + 4r² = 16 + 24r
4r² - 8r = 0
r(r - 2) = 0
r = 0, a = 4, a + 2r = 4, a + 6r = 4
r = 2, a = 4, a + 2r = 8, a + 6r = 16

jak masz pytania to pisz na pw

Answer 2

1. trzy liczby tworza ciag arytemtyczny. suma tych liczb jest rowna 15 , jesli do pierwszej liczby dodamy 5, a do drugiej 3 , a do trzeciej 19 , to otrzymamy ciag geometryczny. wyznacz te liczby.
a,b,c-ciąg arytm
a+b+c=15

b=a+r
c=a+2r

a+b+c=15
a+a+r+a+2r=15
3a+3r=15 /:3
a+r=5 zatem b=5

a+r=5
r=5-a

a+5, b+3, c+19-c.geometr
a+5, 5+3, c+19

(c+19)/8=8/(a+5)
8²=(a+5)(c+19)
64=(a+5)(a+2r+19)
64=(a+5)(a+2(5-a)+19)
64=(a+5)(a+10-2a+19)
64=(a+5)(-a+29)
64=-a²+29a-55+145
a²-24a+64-145=0
a²-24a-81=0
Δ =(-24)²+4*(-81)=576+324=900
√Δ=30
a₁=(24-30)/2=-6/2=-3
zatem
r=5-a=5-(-3)=5+3=8
b=5
c=a+2r=-3+2*8=-3+16=13

lub
a₂=(24+30)/2=54/2=27
zatem
r=5-a=5-27=-22
b=5
c=a+2r=27+2*(-22)=27-44=-17

2. wyznacz takie liczby x , y , aby ciag (27, x, y, )byl geometryczny , a ciag ( x, y, -3) - arytmetyczny.

x/27=y/x
x²=27y

y-x=-3-y
-x=-3-2y /*(-1)
x=3+2y

(3+ 2y)²=27y
9+12y+4y²=27y
4y²+12y-27y+9=0
4y²-15y+9=0
Δ =(-15)²-4*4*9=225-144=81
√Δ=9

y₁=(15-9)/(2*4)=6/8=¾
zatem
x=3+2y=3+2*¾=3 +1½=4½

lub
y₂=(15+9)/(2*8)=24/8=3
zatem
x=3+2y=3+2*3=3+6=9


3. pierwszy , siodmy , i trzydziesty pierwszy , wyraz ciagu arytemtycznego sa rowne odpowiednio pierwszemu , drugiemu,i trzeciemu wyrazowi ciagu geometrycznego . pierwszy wyraz ciagu arytmetycznego jest rowny 4 . wyznacz sume poczatkowych wyrazow tego ciagu.

a,b,c-c.geometr
a=a₁=4
b=a₇=a +6r=4+6r
c=a₃₁=a+30r=4+30r

b/a=c/b
b²=ac

(4+6r)²=4(4+30r)
16+48r+36r²=16+120r
36r²+48r -120r+16-16=0
36r²-72r=0 /:36
r²-2r=0
r(r-2)=0
r=0
zatem
a=4
b=4+6r=4+0=4
c=4+30r=4+0=4 czyli ciąg stały

lub
r-2=0
r=2
zatem
a=4
b=4+6r=4+ 6*2=4+12=16
c=4+30r=4+30*2=4+60=64

Answer 3

1. trzy liczby tworza ciag arytemtyczny. suma tych liczb jest rowna 15 , jesli do pierwszej liczby dodamy 5, a do drugiej 3 , a do trzeciej 19 , to otrzymamy ciag geometryczny. wyznacz te liczby.

x+y+z = 15
(x+z)/2=y
(x+5)(z+19)=(y+3)²

x+ (x+z)/2 +z = 15
(x+5)(z+19)=[(x+z)/2 +3]²

2x + x + z + 2z = 30
3x+3z=30
x+z=10
x=10-z

(10-z+5)(z+19)=[(10-z+z)/2 +3]²
(15-z)(z+19) = 8²
15z+285-z²-19z = 64
z² + 4z - 221 = 0

Δ=16-4*1*(-221) = 900
z₁=-4-30/2 = -17
z₂= -4+30/2 = 13

x₁=10-(-17) = 27
x₂= 10-13 = -3

y₁= ( 27+(-17) )/2 = 5
y₂= (-3+13)/2 = 5
-----------------------------------------------------------------------------------------------

2. wyznacz takie liczby x , y , aby ciag (27, x, y, )byl geometryczny , a ciag ( x, y, -3) - arytmetyczny.

27y=x²
(x-3)/2=y

[27(x-3)] /2 = x²
27(x-3) = 2x²
27x-81 = 2x²
2x² - 27x + 81 = 0

Δ=729-4*2*81 = 81
x₁= 27-9/4 = 4,5
x₂= 27+9/4 = 9

y₁= (4,5-3)/2 = 0,75
y₂= (9-3)/2 = 3
------------------------------------------------------------------------------------------------

3. pierwszy , siodmy , i trzydziesty pierwszy , wyraz ciagu arytemtycznego sa rowne odpowiednio pierwszemu , drugiemu,i trzeciemu wyrazowi ciagu geometrycznego . pierwszy wyraz ciagu arytmetycznego jest rowny 4 . wyznacz sume poczatkowych wyrazow tego ciagu.

a₁=4
a₇ = 4 + 6r
a₃₁= 4 + 30r

g₁=4
g₂= 4 * q
g₃= 4 * q²

4 + 6r = 4q
4 + 30r = 4q²

6r = 4q-4
r = (4q-4)/6
4 + 5 * 6r = 4q²

4 + 5(4q-4) = 4q²
4 + 20q - 20 = 4q²
4q² - 20q + 16 = 0
q² - 5q + 4 = 0

Δ = 25-4*1*4 = 9
q₁= 5-3/2 = 1
q₂= 5+3/2 = 4

r₁= (4*1-4)/6 = 0
r₂= (4*4-4)/6 = 2

arytmetyczny:
an₁ = 4 + 0(n-1) = 4
an₂ = 4 + 2(n-1) = 4 + 2n - 2 = 2 + 2n

suma 3 początkowych:
S₃ = 3(4 + 2+2*3)/2
S₃ = 18

geometryczny:
gn₁= 4 * 1^(n-1) = 4
gn₂= 4 * 4^(n-1) = 4^(1+n-1) = 4^n

suma 3 początkowych:
S₃= 4(1-4³)/(1-4)
S₃= -63/ -3
S₃= 21