Question

1. Punkt P= (-2,5) i Q=(4,1) sa koncami najdluzszego boku trojkata prostokatnego PQR. promien okregu opisanego na trojkacie PQR jest rowny:

2.prosta o rownaniu x= -7 przecina okrag o rownaniu w roznych punktach A i B. Suma odległości punktow a I b od osi OY wynosi:

3.Prosta k jest styczna do okregu o rownaniu . Odleglosc srodka tego okregu od prostej k jest rowna:

4.wskaz rownanie prostej prostopadlej do rownania 2x-3y+4=0

Answer 1

Zad 1

Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym - więc przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Przeciwprostokątna trójkata PQR jest najdłuższym bokiem, a więc średnicą d okręgu opisanego.

d^2 = (4+2)^2 + (5-1)^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52

d = pierwiastek (52) = pierwiastek (4*13) = 2*pierwiastek (13)

Promień r = d/2

r = pierwiastek (13)

 

Zad.2

Wstawiamy x = -7 do równania okręgu

(-7+3)^2 + (y+4)^2 = 25

4^2 + (y+4)^2 = 25

16 + (y+4)^2 = 25

(y+4)^2 = 9

y1+4 = 3

y2+4 = -3

y1 = -1

y2 = -7

A ( -7,-1)

B ( -7,-7)

Odległość punktu P(Xp,Yp) od osi OY jest równa

wartość bezwzględna Yp

więc suma odległości A i B od OY

1 + 7 = 8

 

Zad.3

Prosta styczna do okręgu w punkcie P jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu P - jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi

Należy doprowadzić równanie okręgu do postaci

(x - Xo)^2 + (y-yo)^2 = r^2

(Xo,yo ) - środek okręgu

r - promień okręgu

x^2 + y^2 - 6*x - 16 = 0

(x^2 - 6*x + 9 - 9) + y^2 = 16

(x^2 - 6*x + 9) - 9 + y^2 = 16

(x - 3)^2 + y^2 = 16 + 9

(x - 3)^2 + y^2 = 25

(x - 3)^2 + y^2 = 5^2

Punkt (3,0) jest środkiem okręgu

r = 2

Odległość prostej k od środka równa jest 2

 

Zad 4

2*x - 3*y +4 = 0

- 3*y = -2*x - 4

y = (2/3)*x + 4/3

 

proste

y = a1*x + b1

y = a2*x + b2

są prostopadłe gdy

a1*a2 = -1

 

Szukamy prostej

y = a*x + b

a*(2/3) = -1

a = -3/2

 

y = (-3/2)*x + b

2*y = -3*x + 2*b

3*x + 2*y  - 2*b = 0

W równaniu prostej A*x + B*y + C = 0

A i B odpowiadają za nachylenie prostej

C - przesuwa ją równolegle

W zadaniu wskaż prostą prostopadła do danej prostej, więc będzie to każda prosta

3*x + 2*y  + C = 0

dla C dowolnego