Question

1. Punkt A(4,10) należy do okręgu stycznego do osi OX w punkcie B(4,0). Wyznacz równanie tego okręgu oraz współrzędne jego punktów przecięcia z osią OY.
2. Losujemy jedną liczbę spośród liczb czterocyfrowych, w których zapisie użyto cyfr: 1,2,3,4 i cyfry te nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo tego,że będzie to liczba parzysta.

Answer 1

Zad1.

Punkty A(4,10) i B(4,0) leżą na jednej prostej. Jest to prosta pionowa o równaniu x=4.
Ponieważ okrąg jest styczny do osi OX w punkcie B więc odcinek SB (S - środek okręgu) jest prostopadły do osi. Ponieważ nasza prosta AB jest prostopadła do osi, więc odcinek AB stanowi średnicę okręgu.
d = 10 - 0 = 10 - długość średnicy (odległość punktów A i B na prostej)
d = 2r
r = 5 - promień okręgu (połowa średnicy)
Punkt S także musi leżeć na prostej x=4, więc S=(4,5) - leży w połowie średnicy.
S=(a,b)=(4,5)

Nasze dane podstawiamy do równania okręgu:
(x-a)² + (y-b)² = r²
(x-4)² + (y-5)² = 5²
(x-4)² + (y-5)² = 25 ---> równanie okręgu

Teraz szukamy punktów przecięcia z osią OY. Takie punkty leżą na osi OY, więc ich współrzędna x jest równa 0. Szukamy zatem punktów o współrzędnych (0,y)
Wstawmy współrzędne szukanego punktu do równania okręgu.

(0-4)² + (y-5)² = 25
16 + (y-5)² = 25
(y-5)² = 25-16
(y-5)² = 9 |√
|y-5| = 3 ------> wartość bezwzględna
y-5 = 3 lub y-5 = -3
y = 8 lub y = 2

Szukane punkty mają współrzędne (0,2) i (0,8).