Question

1. Egzaminator, do którego zgłosił się student na egzamin, przedstawia mu dwa jednakowo liczne, ale różne co do składu zestawy pytań. Informuje jednocześnie, że za chwilę rzuci kostką do gry i jeżeli wypadnie parzysta liczba oczek, to zada mu pytanie z pierwszego zestawu, a jeżeli wypadnie nieparzysta liczba oczek – z drugiego zestawu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że student odpowie na pytanie, jeżeli wiadomo, że zestawy zawierają po 30 pytań i z pierwszego zestawu student zna odpowiedzi na 20 pytań, a z drugiego zestawu umie odpowiedzieć na 12 pytań.

2. W zakładach produkcyjnych części samochodowe grupa produkcyjna świece podzielona na trzy zespoły, których produkcja jest równa 25%, 40%, 35%. Kontrola techniczna wykazała, że wśród wyprodukowanych świec 3% wadliwe wykonanych pochodzi od zespołu I, 2% od zespołu II i 3,5%od zespołu III. Ze świeżo wyprodukowanej przez dział partii świec wybrano w sposób losowy jedną. Oblicz prawdopodbieństwo,że jest to świeca wykonana wadliwie.

3. Mamy trzy urny A, B, C. Urna A zawiera dwie kule: czerwoną i zieloną. W urnach B, C znajdują się odpowiednio cztery kule białe, sześć czarnych oraz sześć białych i dwie czarne. Z urny A losujemy jedną kulę. Jeżeli jest to kula czerwona, to losujemy jedną kulę z urny B, a jeżeli jest to kula zielona, to losujemy jedną kulę z urny C. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.

Answer 1

Zad. 1

Opisane doświadczenie losowe jest dwuetapowe:

I etap - rzut kostką do gry, czyli możliwe wyniki to {1; 2; 3; 4; 5; 6}

II etap - zadanie pytania z dwóch zestawów, czyli możlwe wyniki to {pytanie z zestawu I, pytanie z zestawu II}, ale drugi etap zależy od wyniku pierwszego etapu.

 

Jeśli wypadnie na kostce parzysta liczba oczek, czyli {2; 4; 6}, to pytanie z zestawu I, a jeśli nieparzysta liczba oczek {1; 3; 5}, to pytanie z zestawu II.

 

Prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek wynosi:

 

a prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystej liczby oczek wynosi:

 

Natomiast prawdopodobieństwo, że student zna odpowiedź na zadane pytanie z zestawu I wynosi:

 

a prawdopodobieństwo, że student zna odpowiedź na zadane pytanie z zestawu II wynosi:

 

Zatem prawdopodobieństwo tego, że student odpowie na zadane pytanie wynosi:

 

Odp. Prawdopodobieństwo, że student odpowie na zadane pytanie wynosi 0,5(3).

 

 

Zad. 2

Doświadczenie losowe: wybór jednej świecy z wyprodukowanej partii świec

A - wybór świecy wykonanej wadliwie

 

Zatem wystarczy obliczyć jaka część wyprodukowanych świec jest wadliwa:

 

Odp. Prawdopodobieństwo, że wybrano świecę wykonaną wadliwie wynosi 0,02775.

 

 

Zad. 3

Opisane doświadczenie losowe jest dwuetapowe:

I etap - wylosowanie kuli z urny A, czyli możliwe wyniki to {kula czerwona, kula zielona}

II etap -  wylosowanie kuli z urn B lub C, czyli możlwe wyniki to {wylosowanie kuli z urny B, wylosowanie kuli z urny C}, ale drugi etap zależy od wyniku pierwszego etapu.

 

Jeśli wypadnie na kostce parzysta liczba oczek, czyli {2; 4; 6}, to pytanie z zestawu I, a jeśli nieparzysta liczba oczek {1; 3; 5}, to pytanie z zestawu II.

 

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej wynosi:

 

a prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej wynosi:

 

Prawdopodobieństwo wylosowanie kuli czarnej z urny B wynosi:

 

a prawdopodobieństwo wylosowanie kuli czarnej z urny C wynosi:

 

Zatem prawdopodobieństwo wylosowanie kuli czarnej wynosi:

 

Odp. Prawdopodobieństwo, że student odpowie na zadane pytanie wynosi 0,425.

 

 

 

----------------------

Zadania można rozwiązać rysując drzewo stochastyczne - przykład drzewa dla zad. 3 - patrz załącznik

 

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej obliczamy stosując regułę iliczynów i sum