Question

1. Na trójkącie prostokątnym opisano okrąg, wiedząc , że dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną w stosunku 1:2. Stosunek pola koła opisanego do pola koła wpisanego w ten trójkąt wynosi...

2. W trójkącie ABC proste zawierające dwusieczne kątów poprowadzonych z wierzchołków A oraz B przecinają się pod kątem 135 stopni (tzn. jeżeli S jest punktem przecięcia tych dwusiecznych, to kąt ASB = 135 stopni), a długość |AC| = 6 cm oraz |BC| = 8 cm, wówczas:
a) długość boku AB wynosi...
b) długość środkowej trójkąta ABC, poprowadzonej z wierzchołka C, wynosi...

Answer 1

1.

Konstruujemy rysunek:

- odcinek AB = 2R, gdzie R jest promieniem okręgu opisanego, dzielimy na części AD i DB, takie, że AD:DB = 1:2. W tym celu AB dzielimy na 3 równe części (np. stosując tw. Talesa). AD = 1/3 AB, DB = 2/3 AB, wówczas AD:DB=1:2.

- środek O odcinka AB jest środkiem okręgu opisanego, ponieważ ∢AOB = 180, a ∢ACB jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co ∢AOB, czyli 2-krotnie mnniejszym

- z punktu O kreślimy prostą prostopadłą do AB, która przetnie okrąg w punkcie E

- rysujemy prostą ED, która przecina okrąg w punktach E i C

- ponieważ kąt środkowy AOE jest prosty, to kąt ACE jako wpisany i oparty na tym samym co AOE łuku jest równy 45 stopni. Tak więc CE jest dwusieczną kąta ACB, a trójkąt ABC danym trójkątem prostokątnym

- kreślimy dwusieczną kąta BAC i znajdujemy środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC, czyli odległości jego boków od punktu S są równe i wynoszą r

- rysujemy promienie r w punktach styczności K, L, M, które są oczywiście prostopadłe do boków trójkąta ABC.

 

Zauważamy, że trójkąty SDK i EDO są prostokątne i podobne, o stosunku podobieństwa R/r, szukanym w zadaniu.

Ponieważ DO = R - AD = 1/3 R, więc z podobieństwa wynika KD = 1/3 r.

Ale z własności dwusiecznych trójkąta mamy AK = AM = b oraz BK = BL = a, więc:

AK + KD = b + 1/3 r = AD = 2/3 R

skąd b = 2/3 R - 1/3 r

Podobnie:

KB = a = AB - AK = 2R - b

Ponieważ trójkąt ABC jest prostokątny, AC² + BC² = AB², czyli:

(b + r)² + (a + r)² = (2R)²

Po podstawieniu:

(2/3 R - 1/3 r + r)² + (2R - 2/3 R + 1/3 r + r)² = (2R)²

(2/3 R + 2/3 r)² + (4/3 R + 4/3 r)² = (2R)²

(2/3)²(R + r)² + (4/3)²(R + r)² = (2R)²

25/9(R + r)² = (2R)²

Po spierwiastkowaniu:

5/3(R + r) = 2R

5(R + r) = 6R

5R + 5r = 6R

R = 5r

R/r = 5

Stosunek pól okręgów:

πR²/(πr²) = R²/r² = (R/r)² = 5² = 25

Długo myślałem, ale nie wiem, jak zrobić to prościej...

Odp. 25

 

2.

Ponieważ ∢ASB = 135, to ∢SAB+∢ABS = 180 - 135 = 45

∢CAS+∢SAB+∢ABS+∢SBC = 2*(∢SAB+∢ABS) = 90

Tak więc ∢ACB = 180 - 90 = 90, czyli dany trójkąt jest prostokątny.

AB = √(AC²+BC²)= √(6²+8²) = 10

Środkowa CO dzieli AB na połowy: AO = OB, więc O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie, tak więc środkowa CO jest jego promieniem.

Promień R = AO = 1/2 * AB = 5

 

Odp. Trzeci bok ma długość 10, a środkowa CO = 5.