Question

1. Na kwadracie opisano okrąg. Oblicz długość boku kwadratu jeśli łuk tego okręgu pomiędzy dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ma długość π cm.
2. Na trapezie opisano okrąg o promieniu długości 13 cm. środek tego okręgu znajduje się wewnątrz trapezu, w odległości 12 m od krótszej podstawy i 5 cm od dłuższej. Oblicz długości boków trapezu
szybko daje max

Answer 1

Z.1
Mamy L = 2 π r = 4 π cm ---> r = 2 cm
L - długość okręgu opisanego na kwadracie
r - promień okręgu opisanego na kwadracie
r = 2 cm
Mamy a² = r² + r² = 2 r² = 2 *(2 cm)² = 4*2 cm²
zatem a = 2√2 cm
odp.Bok kwadratu ma długość a = 2√2 cm.
============================================
z.2
Dany jest trapez ABCD wpisany w okrąg o r = 13 cm.
O - środek okręgu
x = 12cm , y = 5cm
Mamy
a = AB, b = CD
(a/2)² + y² = r²
(a/2)² = 169 - 25 = 144
a/2 = √144 = 12
czyli a = 24 cm
(b/2)² + x² = r²
(b/2)² = 169 - 144 = 25
b/2 = √25 = 5
zatem b = 10 cm
z = ( a - b) : 2 = [24 - 10] cm :2 = 7 cm
mamy
c² = z² + (x + y)² = 7² + 17² = 49 + 289 = 338
c = √338 cm - długość ramienia trapezu
Odp. a = 24 cm , b = 10 cm, c = √338 cm = 13√2 cm
================================================

Answer 2

Zad1:
Mamy rysunek:
http://i32.tinypic.com/29pdb8y.jpg

kwadrat podzielił koło na 4 identyczne łuki. Więc obwód koła to 4π cm. obliczmy promień koła, który jak widać jest połową przekątnej kwadratu:

2πr=4π |:2π
r=2

w takim razie przekątna kwadratu to 2r=4
a√2=4 /:√2
a=4/√2 = 4√2/2 = 2√2


Zad2:
Na trapezie można opisać okrąg jeżeli kąty na przeciwko uzupełniają się do 180 stopni.

Rysunek:
http://i32.tinypic.com/9k8bqh.jpg


Skoro r=13cm to |EA|=|EB|=|EC|=|ED|=13cm oraz wysokość trójkąta ECD wynosi 5cm zaś trójkąta EAB 12cm to:

oznaczmy:
|CD|=a
|AB|=b

- wiemy, że wysokość ma długość 17cm
- wiemy, że trójkąty równoramienne ECD oraz EAB są równoramienne, więc z tw Pitagorasa będzie wynikało, że:
(a/2)²+h²=|EC|²
a²/4+25cm²=169cm²
a²/4=144cm² |√
a/2=12cm |*2
a=24cm

podobnie z AB:
(b/2)²+h²=|EC|²
b²/4+144cm²=169cm²
b²/4=25cm² |√
b/2=5cm
b=10cm

no to pole wiadomo:
P=(a+b)*h/2
P=(24cm+10cm)*17cm/2
P=289cm²

//EDIT: Nie przeczytałem... trzeba było boki... boki z tw. Pitagorasa oczywiście:
Jako, że to jest trójkąt równoramienny to wysokość podzieli podstawę dłuższej podstawy na 3 długości:
10cm i 2 razy po 7cm

z tw Pitagorasa:
(7cm)²+(17cm²)=c²
c²=49cm²+289cm²
c²=338cm²
c=√338 cm = 13√2 cm