Question

1. Grzałka A zagotuje litr wody w 3 minuty, a grzałka B w 6 minut, w jakim czasie zagotują litr wody dwie grzałki razem?

2. Udowodnij tożsamość 1-sin⁴α - cos⁴α - licznik, 1-sin⁶α-cos⁶α-mianownik , = ⅔

3. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość podstawy wynosi 12 cm, a kąt między ścianą boczną i podstawą α=30°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły.
wystarczy wzory podać, bez rysunku.

PILNE!
z góry dziękuję;)

Answer 1

1. Grzałka A zagotuje litr wody w 3 minuty, a grzałka B w 6 minut, w jakim czasie zagotują litr wody dwie grzałki razem?

W ciągu 6 minut grzałka A potrafi zagotować 2l wody, grzałka B 1l wody. Zatem w sumie w 6 minut potrafią zagotować 3l wody, czyli wychodzi, że jeden litr wody gotują w 6/3 = 2 minuty


2. Udowodnij tożsamość 1-sin⁴α - cos⁴α - licznik, 1-sin⁶α-cos⁶α-mianownik , = ⅔

Oznaczenia:
x = sinα
y = cosα
Ponadto w celu przejrzystości pisania potęgi będę oznaczał jako cyfra bezpośrednio po literce, czyli, np.:
x4 = x⁴
y6 = y⁶ itd...

Najpierw oczywistość (jedynka trygonometryczna):
x2 + y2 = 1

I dalej:
1 = 1² = (x2+y2)² = x4 + 2 x2 y2 + y4
czyli x4 + y4 = 1 - 2 x2 y2
1 = 1³ = (x2+y2)³ = x6 + 3 x4 y2 + 3 x2 y4 + y6 =
= x6 + y6 + 3 x2 y2 (x2 + y2) = x6 + y6 + 3 x2 y2
czyli x6 + y6 = 1 - 3 x2 y2

Zatem:
(1 - x4 - y4) / (1 - x6 - y6) =
= (1 - (1 - 2 x2 y2)) / (1 - (1 - 3 x2 y2)) =
= (2 x2 y2) / (3 x2 y2) = 2/3


3. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość podstawy wynosi 12 cm, a kąt między ścianą boczną i podstawą α=30°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły.

Bok podstawy: a
Wysokość podstawy: hp = 12cm = √3 / 2 a
Stąd a = 12 * 2 / √3 = 24 / √3 = 8 * 3 / √3 = 8√3cm

Ściana boczna jest trójkątem równoramiennym
Wysokość ściany bocznej: h
Wysokość ostrosłupa: H
Powstaje nam trójkąt prostokątny złożony z następujących boków:
h - wykosość ściany bocznej
H - wysokość ostrosłupa
1/3 hp - odcinek od spodku wysokości bryły do środka krawędzi podstawy - czyli jest to ten fragment wysokości podstawy, od punktu przecięcia wsyzstkich wysokości do boku, wiemy, że w trójkącie równobocznym jest to 1/3 całej wysokości, czyli 1/3 hp

Teraz wiemy, że pomiędzy bokami h i 1/3 hp jest kąt 30°
Wiemy, że:
cos 30° = (1/3 hp) / h
Stąd h = (1/3 hp) / cos 30° = 4 / (√3 / 2) = 8 / √3 = (8/3)√3

Podobnie możemy wyliczyć H, mianowicie:
1/2 = sin 30° = H / h
czyli H = 1/2 * h = (4/3)√3

Teraz pole podstawy: P1
P1 = √3 / 4 * a * a = √ / 4 * 8 * 8 * 3 = 48√3
Pole ściany bocznej: P2
P2 = 1/2 * a * h = 1/2 * 8√3 * (8/3)√3 = 32
Pole ostrosłupa:
P = P1+3*P2 = 48√3 + 96

Objętość:
V = 1/3 * P1 * H = 1/3 * 48√3 * (4/3)√3 = 64

Answer 2

1. Grzałka A zagotuje litr wody w 3 minuty, a grzałka B w 6 minut, w jakim czasie zagotują litr wody dwie grzałki razem?

W ciągu 6 minut grzałka A potrafi zagotować 2l wody, grzałka B 1l wody. Zatem w sumie w 6 minut potrafią zagotować 3l wody, czyli wychodzi, że jeden litr wody gotują w 6/3 = 2 minuty


2. Udowodnij tożsamość 1-sin⁴α - cos⁴α - licznik, 1-sin⁶α-cos⁶α-mianownik , = ⅔

Oznaczenia:
x = sinα
y = cosα
Ponadto w celu przejrzystości pisania potęgi będę oznaczał jako cyfra bezpośrednio po literce, czyli, np.:
x4 = x⁴
y6 = y⁶ itd...

Najpierw:
x2 + y2 = 1

Następnie:
1 = 1² = (x2+y2)² = x4 + 2 x2 y2 + y4
czyli x4 + y4 = 1 - 2 x2 y2
1 = 1³ = (x2+y2)³ = x6 + 3 x4 y2 + 3 x2 y4 + y6 =
= x6 + y6 + 3 x2 y2 (x2 + y2) = x6 + y6 + 3 x2 y2
czyli x6 + y6 = 1 - 3 x2 y2

Więc:
(1 - x4 - y4) / (1 - x6 - y6) =
= (1 - (1 - 2 x2 y2)) / (1 - (1 - 3 x2 y2)) =
= (2 x2 y2) / (3 x2 y2) = 2/3


3. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość podstawy wynosi 12 cm, a kąt między ścianą boczną i podstawą α=30°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły.

Bok podstawy: a:
Wysokość podstawy: hp = 12cm = √3 / 2 a
Stąd a = 12 * 2 / √3 = 24 / √3 = 8 * 3 / √3 = 8√3cm

Ściana boczna jest trójkątem równoramiennym więc:
Wysokość ściany bocznej: h
Wysokość ostrosłupa: H
Powstaje nam trójkąt prostokątny złożony z następujących boków:
h - wykosość ściany bocznej
H - wysokość ostrosłupa
1/3 hp - odcinek od spodku wysokości bryły do środka krawędzi podstawy - czyli jest to ten fragment wysokości podstawy, od punktu przecięcia wsyzstkich wysokości do boku, wiemy, że w trójkącie równobocznym jest to 1/3 całej wysokości, czyli 1/3 hp

Od razu wiadomo, że pomiędzy bokami h i 1/3 hp jest kąt 30°
Dlatego:
cos 30° = (1/3 hp) / h
Stąd h = (1/3 hp) / cos 30° = 4 / (√3 / 2) = 8 / √3 = (8/3)√3

Podobnie możemy wyliczyć H, dokładnie:
1/2 = sin 30° = H / h
czyli H = 1/2 * h = (4/3)√3

Teraz pole podstawy: P1:
P1 = √3 / 4 * a * a = √ / 4 * 8 * 8 * 3 = 48√3
Pole ściany bocznej: P2
P2 = 1/2 * a * h = 1/2 * 8√3 * (8/3)√3 = 32
Pole ostrosłupa:
P = P1+3*P2 = 48√3 + 96

Objętość:
V = 1/3 * P1 * H = 1/3 * 48√3 * (4/3)√3 = 64