1. Do okręgu o promieniu 10 cm poprowadzono styczne z punktu odległego od środka tego okręgu o 20cm.... Question from @Malinka545

November 2018 1 56 Report

1. Do okręgu o promieniu 10 cm poprowadzono styczne z punktu odległego od środka tego okręgu o 20cm. Znajdź miarę kąta między stycznymi. (wynik to 60 stopni).
2. Oblicz długość wysokości trójkąta, opuszczonej na bok o długości 10 cm, wiedząc, że kąty leżące przy tym boku mają 30 stopni i 45 stopni.

$5( \sqrt{3} -1)$ takie jest wynik
3. Oblicz długości odcinków oznaczonych literami. (załącznik) wyniki to b=
$b= \sqrt{7+2 \sqrt{3} }$ $c=2 \sqrt{2+ \sqrt{2}}$

Potrzebuję obliczeń.
Jako że są to zadania z tematu "wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30, 45 i 60" dobrze by było żeby właśnie tym sposobem było to obliczone.

Roma Zad. 1
Oznaczenia jak na rysunku patrz załącznik
r - promień okręgu
r = |AO| = |BO| = 10 cm
P - punkt, z którego poprowadzono styczne do okręgu
|PO| = 20 cm
∢APB - kąt między stycznymi do okręgu

Trójkąty OAP i OBP to trójkąty prostokątnie oraz są one przystające, bo mają odpowiednie boki równe (równość boków AP i BP wynika z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu), czyli odpowiednie kąty tych trójkątów mają te same miary.
Zatem:
|∢APO| = |∢BPO| = α
Stąd:
|∢APB| = 2α

$\underline{\Delta OAP} \\\\
sin \ \alpha = \frac{|AO|}{|PO|} \\\
sin \ \alpha = \frac{10}{20} \\\
sin \ \alpha = \frac{1}{2} \\\
\alpha = 30^o \\\\
Zatem: \\\
|\sphericalangle APB| = 2 \alpha = 2 \cdot 30^o = 60^o
$

Odp. Miara kąta między stycznymi wynosi 60°.

Zad. 2
Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik
|AB| = 10 cm
h - wysokość trójkąta ABC opuszczona na bok AB
h = |CD|

|AD| + |BD| = |AB|
|BD| = x
|AB| = 10
Stąd:
|AD| + x = 10
|AD = 10 - x

Zatem:

$tg \ 45^o =\frac{|CD|}{|AD|} \\\
1=\frac{h}{10 - x} \\\
10 - x = h \\\
-x = h - 10 \ / \cdot (-1) \\\
x = - h + 10
$

$tg \ 30^o = \frac{|CD|}{x} \\\
\frac{\sqrt{3}}{3}= \frac{h}{x} \\\
3h= \sqrt{3} \cdot x \\\
3h= \sqrt{3} \cdot (- h + 10) \\\
3h= -\sqrt{3} \cdot h + 10\sqrt{3}\\\
3h+\sqrt{3} \cdot h = 10\sqrt{3}\\\
(3+\sqrt{3}) \cdot h = 10\sqrt{3} \ /:(3+\sqrt{3}) \\\
h = \frac{10\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = 
\frac{10\sqrt{3}(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = 
\frac{30\sqrt{3} - 30}{9-3} =\frac{30 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{6} = 5 \cdot
 (\sqrt{3} - 1)$

Odp. Wysokości trójkąta wynosi $5 \cdot
 (\sqrt{3} - 1) \ cm$ .

Zad. 3
I trójkąt - patrz załacznik
|BC| = b
|AB| = 2
|AC| = √3
|∢BAC| = 120°

ΔADC to trójkąt prostokątny (CD - wysokość ΔABC)
Kąty BAC i CAD to kąty przyległe, zatem:
|∢BAC| + |∢CAD| = 180°
|∢CAD| = 180° - |∢BAC|
|∢CAD| = 180° - 120°
|∢CAD| = 60°
Stąd:
$sin \ 60^o = \frac{|CD|}{|AC|} \\\
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{|CD|}{\sqrt{3}} \\\
2 \cdot |CD| = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \\\
2 \cdot |CD| = 3 \ /:2 \\\
|CD| = \frac{3}{2}$

$cos \ 60^o = \frac{|AD|}{|AC|} \\\ 
\frac{1}{2} = \frac{|AD|}{\sqrt{3}} \\\ 
2 \cdot |AD| = \sqrt{3} \ /:2 \\\ 
|AD| = \frac{\sqrt{3}}{2} \\\
Zatem:
|BD| = |AB| + |AD| \\\
|BD| = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4+\sqrt{3}}{2}$

ΔBDC to trójkąt prostokątny, więc skorzystamy z tw. Pitagorasa:
$|BC|^2 = |BD|^2 + |CD|^2 \\\
b^2 = (\frac{4+\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 \\\
b^2 = \frac{16+8\sqrt{3} +3}{4} + \frac{9}{4} \\\
b^2 = \frac{19+8\sqrt{3}}{4} + \frac{9}{4} \\\
b^2 = \frac{19+8\sqrt{3}+9}{4}\\\
b^2 = \frac{28+8\sqrt{3}}{4}\\\
b^2 = \frac{4 \cdot (7+2\sqrt{3})}{4}\\\
b^2 = 7+2\sqrt{3} \\\
b = \sqrt{7+2\sqrt{3}}$

Odp. Długość odcinka b wynosi: $b = \sqrt{7+2\sqrt{3}}$

II trójkąt - patrz załącznik
|AB| = c
|AC| = |BC| = 2
|∢ACB| = 135°

ΔBDC to trójkąt prostokątny (BD - wysokość ΔABC)
Kąty ACB i BCD to kąty przyległe, zatem:
|∢ACB| + |∢BCD| = 180°
|∢BCD| = 180° - |∢ACB|
|∢BCD| = 180° - 135°
|∢BCD| = 45°
Zatem ΔBDC to trójkąt prostokątny równoramienny, czyli |BD| = |CD|
Stąd:
$sin \ 45^o = \frac{|BD|}{|BC|} \\\ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|BD|}{2} \\\ 2 \cdot |BD| =2 \cdot \sqrt{2} \ /:2 \\\ |BD| = \sqrt{2}$

$|CD| = |BD| = 
\sqrt{2} \\\ Zatem: \\\ |AD| = |AC| + |CD| \\\ |AD| = 2 + \sqrt{2}$

ΔADB to trójkąt prostokątny, więc skorzystamy z tw. Pitagorasa:
$|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 \\\ c^2 = (2 + \sqrt{2})^2 + 
(\sqrt{2})^2 \\\ c^2 = 4 +4\sqrt{2} + 2 + 2\\\ c^2 = 8 +4\sqrt{2}\\\ c^2
 = 4 \cdot (2 +\sqrt{2})\\\ c = \sqrt{4 \cdot (2 +\sqrt{2})} \\\ c = 
2\sqrt{2 +\sqrt{2}}$

Odp. Długość odcinka c wynosi: $c = 2\sqrt{2 +\sqrt{2}}$

0 votes Thanks 0