1. Dla jakich wartości parametru k równanie I5+4x-x²I=(k+1)Ix-5I ma trzy różne rozwiązania? 2. Dla j.... Question from @LirkaLirka

December 2018 1 81 Report

1. Dla jakich wartości parametru k równanie I5+4x-x²I=(k+1)Ix-5I ma trzy różne rozwiązania?
2. Dla jakich wartości parametru k równanie Ix²-4I=(k²-5)Ix-2I ma trzy rozwiązania, z których jedno jest dodatnie i dwa są ujemne?

MrPolygon Zadanie 1.
$|5+4x-x^2|=(k+1)\cdot|x-5|\\\\|-(x-5)\cdot(x+1)|=(k+1)\cdot|x-5|\\\\|-(x-5)|\cdot|x+1|=(k+1)\cdot|x-5|\\\\|x-5|\cdot|x+1|=(k+1)\cdot|x-5|\\\\|x-5|\cdot|x+1|-(k+1)\cdot|x-5|=0\\\\|x-5|\cdot\big(|x+1|-(k+1)\big)=0$

W otrzymanym równaniu czynnik $|x-5|$ generuje nam jedno miejsce zerowe, którym jest:
$|x-5|=0\\x-5=0\\x=5$

Drugi czynnik:
$|x+1|-(k+1)$
ma nam generować jeszcze dwa inne miejsca zerowe, więc
$|x+1|-(k+1)=0\\\\|x+1|=k+1\\\\k+1>0\qquad\Rightarrow\qquad\boxed{k>-1}\\\\x+1=k+1\qquad\vee\qquad{}x+1=-k-1\\\\x=k\qquad\vee\qquad{}x=-k-2\\\\k\neq5\qquad\textrm{oraz}\qquad-k-2\neq5\\\\k\neq5\qquad\textrm{oraz}\qquad{}k\neq-7$

Odpowiedź: $k\in(-1,+\infty)\backslash\{5\}$ .

$\rule{10cm}{1pt}$
Zadanie 2.
$|x^2-4|=(k^2-5)\cdot|x-2|\\\\|(x-2)\cdot(x+2)|=(k^2-5)\cdot|x-2|\\\\0=(k^2-5)\cdot|x-2|-|x-2|\cdot|x+2|\\\\|x-2|\cdot[(k^2-5)-|x+2|]=0$

Pierwszy czynnik $|x-2|$ generuje nam jedno rozwiązanie, mianowicie x=2. Jest to rozwiązanie dodatnie, wobec czego drugi czynnik musi nam generować dwa rozwiązania ujemne:
$(k^2-5)-|x+2|=0\\\\k^2-5=|x+2|\\\\k^2-5>0\qquad\Rightarrow\qquad{k\in(-\infty,-\sqrt{5})\cup(\sqrt{5},+\infty)}\\\\x+2=k^2-5\qquad\vee\qquad{}x+2=5-k^2\\\\x=k^2-7\qquad\vee\qquad{}x=3-k^2\\\\k^2-7<0\qquad\textrm{oraz}\qquad-k^2+3<0$

Dostaliśmy trzy warunki:
$\left\{\begin{array}{l}k^2-5>0\\k^2-7<0\\-k^2+3<0\end{array}\right.$

Rozwiązujemy każdą z tych trzech nierówności i otrzymujemy przedziały:
$\left\{\begin{array}{l}k\in(-\infty,-\sqrt{5})\cup(\sqrt{5},+\infty)\\k\in(-\sqrt{7},\sqrt{7})\\k\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},+\infty)\end{array}\right.$

Bierzemy część wspólną tych przedziałów i otrzymujemy odpowiedź:

$k\in(-\sqrt{7},-\sqrt{5})\cup(\sqrt{5},\sqrt{7})$

20 votes Thanks 35