1. Dla jakich wartości parametru k równanie I5+4x-x²I=(k+1)Ix-5I ma trzy różne rozwiązania? 2. Dla j.... Question from @LirkaLirka

December 2018 1 143 Report

1. Dla jakich wartości parametru k równanie I5+4x-x²I=(k+1)Ix-5I ma trzy różne rozwiązania?
2. Dla jakich wartości parametru k równanie Ix²-4I=(k²-5)Ix-2I ma trzy rozwiązania, z których jedno jest dodatnie i dwa są ujemne?

Cyna4 Witaj.

Zadanie 1.

$|5+4x-x^{2}|=(k+1)|x-5|\\\\|x^{2}-4x-5|=(k+1)|x-5|\\\\|(x-5)(x+1)|=(k+1)|x-5|\\\\|x-5|\cdot|x+1|=(k+1)\cdot|x-5|$

Niezależnie od parametru k, zawsze jednym z rozwiązań równania będzie liczba 5. Gdy już to ustaliliśmy, możemy podzielić obustronnie przez |x-5|:

$|x+1|=k+1$

Teraz traktujemy lewą stronę jako funkcję i rysujemy jej wykres. Musimy znaleźć parametry k, dla których równanie to ma 2 rozwiązania, które są różne od 5 (ponieważ nie może ono się powtórzyć - wtedy będą 2 rozwiązania). Dla uproszczenia przyjmujemy najpierw, że:

$m=k+1\\\\|x+1|=m$

Rysujemy wykres funkcji:

$f(x)=|x+1|$

Wykres funkcji w załączniku. Odczytujemy z niego szukane wartości parametru m:

$m\in(0;+\infty)\ \backslash\{6\}$

Rozwiązujemy odpowiednie nierówności:

$\fbox{1}\ m>0\\\\k+1>0\\\\k>-1\\\\k\in(-1;+\infty)\\\\\fbox{2}\ m\neq6\\\\k+1\neq6\\\\k\neq5\\\\k\in R\ \backslash\{5\}$

Ostatecznie otrzymujemy więc:

$\fbox{1}\ \cap\ \fbox{2}\\\\k\in(-1;5)\ \cup\ (5;+\infty)$

Zadanie 2.

$|x^{2}-4|=(k^{2}-5)|x-2|\\\\|(x+2)(x-2)|=(k^{2}-5)|x-2|\\\\|x+2|\cdot|x-2|=(k^{2}-5)\cdot|x-2|$

Tutaj podobnie jak wcześniej, mamy od razu jeden pierwiastek, czyli liczbę 2. Jest to jednocześnie jedyne rozwiązanie dodatnie, którego szukaliśmy. Pozostałe 2 muszą być zatem ujemne. Dzielimy teraz przez |x-2|:

$|x+2|=k^{2}-5$

Przyjmujemy dla uproszczenia, że:

$m=k^{2}-5\\\\|x+2|=m$

Lewą stronę traktujemy jako funkcję i rysujemy jej wykres:

$f(x)=|x+2|$

Wykres funkcji w załączniku. Szukamy prostych y=m, które przetną nasz wykres w 2 punktach o pierwszych współrzędnych ujemnych. Mamy stąd:

$m\in(0;2)$

Rozwiązujemy odpowiednie nierówności:

$\fbox{1}\ m>0\\\\k^{2}-5>0\\\\(k+\sqrt{5})(k-\sqrt{5})>0\\\\k\in(-\infty;-\sqrt{5})\ \cup\ (\sqrt{5};+\infty)$

$\fbox{2}\ m<2\\\\k^{2}-5<2\\\\k^{2}-7<0\\\\(k+\sqrt{7})(k-\sqrt{7})<0\\\\k\in(-\sqrt{7};\sqrt{7})$

Otrzymujemy zatem:

$\fbox{1}\ \cap\ \fbox{2}\\\\k\in(-\sqrt{7};-\sqrt{5})\ \cup\ (\sqrt{5};\sqrt{7})$