Question

1) Dany jest wielomian W(x)=2x3+ax2-14x+b

a) Dla a=0 i b=0 otrzymamy wielomian W(x) =2x3-14x. Rozwiąż równanie 2x3-14x=0

b) Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W(x) był podzielny przez x-2 oraz przez x+3

2) Liczby 3 i -1 są pierwiastkami wielomianu W(x)=2x3+ax2+bx+30

a) wyznacz wartości współczynników a i b

b) oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu

Answer 1

z.1

W(x) =2x^3 +ax^2 - 14x + b

a)

3x^3 - 14x = 0

x*(3x^2 - 14) = 0

x = 0  lub  x^2 = 14/3

x = 0  lub  x = - p(14/3) lub  x = p(14/3)

b) Aby wielomian W(x) był podzielny przez x-2 oraz x + 3  to  liczby

2  oraz -3  muszą byc pierwiastkami równania W(x) = 0

zatem

2*2^3  + a*2^2 -14*2 + b = 0

2*(-3)^3 +a*(-3)^2 - 14*(-3) + b = 0

--------------------------------------------

16 + 4a -28 + b = 0

-54 +9a + 42 + b = 0

-----------------------

4a + b = 12

9a + b = 12

-----------------  odejmuję stronami

5a = 0

a = 0

b = 12 -4a = 12 - 0 = 12

Odp. a = 0  oraz b =12

============================

z.2

W(x) = 2 x^3 +ax^2 + bx + 30

a)Liczby 3  i  -1  są pierwiastkami W(x) zatem W(3) = 0  oraz W(-1) = 0

Mamy

2*3^3 + a*3^2 +b*3 + 30 = 0

2*(-1)^3 + a*(-1)^2 +b*(-1) + 30 = 0

--------------------------------------------

54 +9a + 3b + 30 = 0

-2 +a  - b + 30 = 0

----------------------

9a + 3b = - 84

a - b = -28  / * 3

-------------------

9a + 3b = - 84

3a - 3b = - 84

---------------------  dodajemy stronami

12a = - 168 / : 12

a = - 14

========

b = a + 28 = -14 + 28 = 14

Odp. a = -14  oraz  b =  14

=============================

b)

Mamy

W(x) = 2 x^3 -14 x^2 + 14x + 30

(x -3)*(x + 1) = x^2 -2x -3

Dzielimy W(x) przez x^2 -2x - 3

otrzymujemy

2x -10   stąd  x = 5

Odp. Trzecim pierwiastkiem jest liczba 5.

=========================================

Dzielenie wielomianów:

 

2x - 10

-------------------------------

(2 x^3 - 14 x^2 +14 x + 30) : (x^2 -2x - 3)

-2 x^3 +  4x^2   + 6x

--------------------------------

........ -10x + 20x + 30

........ 10x  - 20x -  30

------------------------------

....................... 0