Zbadaj przebieg funkcji: f(x)= Według punktów: 1. Dziedzina. 2. Punkty przecięcia z osiami. 3.Granic.... Question from @Karolka272

December 2018 1 29 Report

Zbadaj przebieg funkcji: f(x)= $\sqrt{x^{2}+x-2}$

Według punktów:
1. Dziedzina.
2. Punkty przecięcia z osiami.
3.Granice
4. Asymptoty.
5. Monotoniczność.
6. Ekstrema.
7. Punkty przegięcia
8. Wypukłość, wklęsłość.
9. Tabela i wykres.

Marco12 $f(x) = \sqrt{x^2+x-2}$

1. Dziedzina
$Z: x^2+x-2 \geq 0 \\ (x-1)(x+2) \geq 0 \\ x \in (-\infty; -2> \cup <1; +\infty)$

2. Punkty przecięcia z osiami:
-z osią OY czyli f(0) - 0 nie należy do dziedziny czyli wykres nie przecina osi OY
-z osią OX czyli punkt(y) o współrzędnych (0; a) przy czym a to miejsca zerowe.
Mamy dwa takie punkty: A(0; -2) oraz B(0; 1)

3. Granice
$\lim_{x \to ^+_-\infty} \sqrt{x^2+x-2} = \lim_{x \to \infty} |x|\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}} = +\infty$

4. Asymptoty
Asymptota w postaci y=ax+b gdzie:
$a = \lim_{x \to \infty} [\frac{f(x)}{x}] \\ oraz \\ b = \lim_{x \to \infty} [f(x)-ax]$

$a_1 = \lim_{x \to -\infty}(\frac{\sqrt{x^2+x-2}}{x}) = -1 \\ a_2 = \lim_{x \to +\infty}(\frac{\sqrt{x^2+x-2}}{x}) = 1 \\ \\ b_1 = \lim_{x \to -\infty}[\sqrt{x^2+x-2} + x] = - \frac{1}{2} \\ b_2 = \frac{1}{2}$
Mamy dwie asymptoty: y=-x-0,5 lub y = x+0,5
Przy liczeniu współczynników kierunkowych skorzystałem z reguły de l'Hospitala natomiast licząc wyrazy wolne najpierw pomnożyłem wyrażenia przez ułamek, który w liczniku i mianowniku miał sprzężenia tych wyrażeń a następnie zastosowałem regułę de l'Hospitala.

5. Monotoniczność
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+x-2}} \cdpt 2x+1 = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x-2}}$
Dziedzina pochodnej nieznacznie różni się od dziedziny funkcji i jest nią przedział: (-oo; -2) U (1; +oo)
Funkcja jest rosnąca gdy f'(x) ≥ 0 czyli x ≥ -0,5 i po uwzględnieniu dziedziny funkcja rośnie w przedziale <1; +oo)
Funkcja jest malejąca gdy f'(x) ≤ 0 i po uwzględnieniu dziedziny funkcja maleje w przedziale <-oo; -2>

6. Ekstrema
Warunek konieczny istnienia ekstremum: f'(x) = 0
f'(x) = 0 ⇒ x = -0,5 ∉ D
Funkcja nie posiada ekstremów.

7. Punkty przegięcia
$f''(x) = (\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x-2}})' = - \frac{9}{4 \sqrt[3]{(x^2+x-2)^2}}$
(pochodna ilorazu i pochodna funkcji złożonej)
Druga pochodna nie zeruje się dlatego funkcja nie ma punktów przegięcia.

8. Wypukłość, wklęsłość
Druga pochodna jest ujemna w całej dziedzinie czyli wykres funkcji jest wklęsły w całej dziedzinie.

9. Tabela, wykres.
x (-oo; -2) -2   (-2; -0,5) -0,5    (-0,5; 1) 1 (1; +oo)
f'(x)    - - -    0 + + +
f''(x) -    -     - - - - -
f(x) maleje od +oo nie jest określona    rośnie od 0
   do 0 do +oo

Wykres w załączniku.
Wykres pochodzi ze strony: http://www.matemaks.pl/program-do-rysowania-wykresow-funkcji.php

2 votes Thanks 0