Zadanie 1
Obwód podstawy stożka jest równy 20 pi. Tworząca tego stożka nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod katem 60 stopni. oblicz obiętość i powierzchnię całkowitą tego stożka.
Zadanie 2
Pole przekroju osiowego stożka jest równe 12 cm kwadratowych a obiętość stożka jest równa 12 pi cm sześciennych. Oblicz promień podstawy i wysokość stożka.
Zadanie 3
Przekrój osiowy stożka jest trójkatem równobocznym o polu 16 pierwiastków z 3 oblicz obiętość tej bryły.
Zadanie 4
przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 4 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i obiętość stożka.
Zadanie 5
Pole przekroju osiowego stożka jest równe 48 cm kwadratowych wysokość stożka 12 cm oblicz pole powierzchnii całkowitej i obiętość tego stożka.
Zadanie 6
Przekrój osiowy stozka jest trójkatem o polu 36 pierwiastków z 3 cm kwadratowych i kącie przy podstawie alfa=60 stopni. Oblicz obiętość i pole powierzchni bocznej stożka.
Zadanie 1
Obwód podstawy stożka jest równy 20 pi. Tworząca tego stożka nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod katem 60 stopni. oblicz obiętość i powierzchnię całkowitą tego stożka.
O = 20π - obwód podstawy
r - promień podstawy
l - tworząca stożka
α = 60° - kąt między tworzącą a śdrdnica podstawy
H = wysokość stożka
V = ?
Pc = ?
1. Obliczam promień podstawy
O = 20π
O = 2*π*r
2*π*r = 20π /:2π
r = 10 [j]
2. Obliczam wysokosć H stożka
H : r = tg α
H = r*tg 60°
H = 10*√3 [j]
3. Obliczam tworzacą l
r : l = cos α
r : l = cos 60°
10 : l = ½
l = 10*2
l =20 [j]
4. Obliczam pole całkowite
Pc = Pp + Pb
Pc = π*r² + π*r*l
Pc = π*r(r +l)
Pc = π*10*( 10 +20)
Pc = π*10*30
Pc = 300*π [j²]
5. Obliczam objetość stożka
V = ⅓*Pp*H
V = ⅓*π*r²*H
V = ⅓*π*(10)²*10√3
V = ⅓*π*100*10√3 [j³]
V = (1000/3)*√3*π [j³]
Zadanie 2
Pole przekroju osiowego stożka jest równe 12 cm kwadratowych a obiętość stożka jest równa 12 pi cm sześciennych. Oblicz promień podstawy i wysokość stożka.
P = 12 cm² - pole przekroju osiowego stożka
V = 12*π cm³ - objętość stożka
H - wysokość stożka
r = ? - promień podstawy
l = ? - tworząca stożka
1. Obliczam r i H
P = ½*2r*H = 12 cm²
P = r*H= 12
V = ⅓*π*r²*H = 12*π cm³
⅓*r²*H = 12*π /:π
⅓*r²*H = 12
r*H= 12
⅓*r²*H = 12
H = 12 : r
⅓*r²*(12/r) = 12
H = 12:r
4r = 12 /: 4
H = 12 :r
r = 3 cm
H = 12 : 3 = 4 cm
r = 3 cm
H = 4 cm
r = 3 cm
2. Obliczam tworzącą stożka
l²= r² + H²
l² = (3 cm)² + (4 cm)²
l² = 9 cm² + 16 cm²
l² = 25 cm²
l = √25
l = 5 cm
Zadanie 3
Przekrój osiowy stożka jest trójkatem równobocznym o polu 16 pierwiastków z 3 oblicz obiętość tej bryły.
P = 16√3 - pole przekroju osiowego ( trójkata równobocznego)
H - wysokość stożka
h = ½*a*√3 - wysokość trójkąta równobocznego
a = 2r
h = H stozka
V = ? - objetość stożka
1. Obliczam wysokość h
h = ½*a√3
h = H = ½*2r*√3
H = r√3
2. Obliczam promień podstawy r
P = 16√3
P = ½*a*H
a = 2r
½a*H = 16√3
½*2r *H = 16√3
r*H = 16√3
H = r√3
r*r√3 = 16√3
r²*√3 = 16√3 /:√3
r² = 16
r = √16
r = 4 cm
3. Obliczam H wysokoć stożka
H = r√3
H = 4√3 cm
4. Obliczam objetość stożka
V = ⅓*Pp*H
V = ⅓*π*r²*H
V = ⅓*π*(4 cm)²*4√3 cm
V = (64/3)*√3*π cm³
Zadanie 4
przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 4 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i obiętość stożka.
a = 4 cm - bok trójkata równobocznego
a = 2r ( a = średnicy podstawy)
H - wysokość stożka
H = ½*a*√3 = ½*2r*√3 = r*√3 - wysokość trójkata równobocznego
l = 2r tworząca stożka
r - promień podstawy
Pc = ? - pole całkowite stożka
V = ? - objetość stożka
1. Obliczam promien podstawy
a = 4 cm
a = 2r
2r = 4 cm
r = 2 cm
2. Obliczam wysokość H stożka
H = h
h = ½*a*√3
a = 2r
H = h = ½*2r*√3
H = r*√3
H = 2*√3 cm
3. Obliczam tworzącą l
l = 2r ( bo jest to trójkąt równoboczny)
l = 2*2 cm
l = 4 cm
4. Obliczam pole całkowite
Pc = Pp + Pb
Pc = π*r² + π*r*l
Pc = π*r( r +l)
Pc = π*2cm*(2 cm + 4 cm)
Pc = π*2 cm*6 cm
Pc = 12*π cm²
5. Obliczam objetość stożka
V = ⅓*π*r²*H
V = ⅓*π*(2cm)²*2√3 cm
V = ⅓*π*8√3 cm³
V = (8/3)*√3*π cm³
Zadanie 5
Pole przekroju osiowego stożka jest równe 48 cm kwadratowych wysokość stożka 12 cm oblicz pole powierzchnii całkowitej i obiętość tego stożka.
P = 48 cm² pole przekroju osiowego stożka
H = 12 cm - wysokość stożka
r - promien podstawy
l -tworzaca stożka
Pc = ? pole całkowite stożka
V = ? - objetość stożka
1. Obliczam promien podstawy r
P = 48 cm²
P = ½*2r*H
½*2r*H = 48 cm²
r*H = 48 cm²
r*12 cm = 48 cm²
r = 48 cm² :12 cm
r = 4 cm
2. Obliczam tworzacą l
l² = r² + H²
l² = (4 cm)² + (12 cm)²
l² = 16 cm² + 144 cm²
l² = 160 cm²
l = √160
l = √(16*10)
l = 4√10 cm
3. Obliczam pole całkowite stożka
Pc = Pp + Pb
Pc = π*r² + π*r*l
Pc = π*r( r +l)
Pc = π*4cm*(4 cm + 4√10 cm)
Pc = π*4 cm*4cm( 1 + √10)
Pc = 16*π*(1 + √10) cm²
4. Obliczam objętość stożka
V = ⅓*π*r²*H
V = ⅓*π*(4cm)²*12 cm
V = ⅓*π*16*12 cm³
V = 64*π cm³
Zadanie 6
Przekrój osiowy stozka jest trójkatem o polu 36 pierwiastków z 3 cm kwadratowych i kącie przy podstawie alfa=60 stopni. Oblicz obiętość i pole powierzchni bocznej stożka.
P = 36√3 cm² - pole przekroju osiowego stożka
α = 60° - kat miedzy tworzącą l, a promieniem podstawy r
l - tworzaca stożka
H - wysokość stożka
r - promień podstawy
V = ? objetość stożka
Pc = ? pole całkowite stożka
1. Wyznaczam wysokość H stożka
H : r = tg α
H = r*tg 60°
H = r*√3 cm
2. Obliczam promien podstawy r
P = 36√3 cm²
P = ½*2r*H
½*2r*H = 36√3 cm²
r*H = 36√3 cm²
r*r*√3 = 36√3 cm² /:√3
r² = 36 cm²
r = √36
r = 6 cm
3. Obliczam wysokość H stożka
H = r√3
H = 6*√3 cm
4. Obliczam objetość stożka
V = ⅓*Pp*H
V = ⅓*π*r²*H
V = ⅓*π*(6 cm)²*6√3 cm
V = 72*√3*π cm³
5. Obliczam tworzącą l stożka
r : l = cos α
r : l = cos 60°
6 : l = ½
l = 6*2
l = 12 cm
6. Obliczam pole całkowite stożka
Pc = Pp + Pb
Pc = π*r² + π*r*l
Pc = π*r( r +l)
Pc = π*6cm*(6 cm + 12cm)
Pc = π*6cm*18 cm
Pc = 108*π cm²