Question

Zad.1

Wykaż , że podane liczby tworzą ciąg geometryczny

6-2√5 , 16-8√5 , 56-24√5

Zad. 2

Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego o podstawach 4 cm i 10 cmm, oraz wysokości równej 8 cm

Zad 3 Rozwiąż równania i nierówności

a) 5x³+4x²+4x=0

b)x⁵-2x⁴-15x³=0

c)(x-2)²+18pod kreska x-2 >2x+5

Zad 4

Dany jest wielomian W(x)=x³-5x²-x+5

a) rozłóż wielomian na czynniki

b)podaj stopień wielomianu

c)oblicz wartość wielomianową

d)rozwiąż W(x)=0

Answer 1

Zad.1

Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego.

 

6 - 2√5, 16 - 8√5, 56 - 24√5 - ciąg geometryczny

(16 - 8√5)² = (6 - 2√5) · (56 - 24√5)

L = (16-8√5)² = 16² - 2·16·8√5 + (8√5)² = 256 - 256√5 + 320 = 576 - 256√5

P = (6 - 2√5) · (56 - 24√5) = 336 - 144√5 - 112√5 + 240 = 576 - 256√5

L = P

Wykazano, że wyraz środkowy ciągu jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego, czyl ciąg jest geometryczny.

 

Zad. 2

a, b - podstawy trapezu równoramiennego (a > b)

h - wysokość trapezu równoramiennego

c - długość ramion trapezu równoramiennego

x - odcinek na podstawie a, taki, że x = ½·(a - b)

P - pole trapezu równoramiennego

O - obwód trapezu równoramiennego

 

a = 10 cm

b = 4 cm

h = 8 cm

x = ½·(10 - 4) = ½·6 = 3

Zatem z tw. Pitagorasa:

c² = x² + h²

c² = 3² + 8²

c² = 9 + 64

c² = 73

c = √73 cm

 

P = ½ · (a + b) · h

P = ½ · (10 + 4) · 8 = 14 · 4 = 56 cm²

O = a + b + 2c

O = 10 + 4 + 2·√73 = 14 + 2√73 cm

 

Odp. Pole trapezu wynosi 56 cm², a jego obwód 14 + 2√73 cm.

 

Zad. 3

a)

5x³ + 4x² + 4x = 0

x·(5x² + 4x + 4) = 0

x = 0  ∨  5x² + 4x + 4 = 0

 

x = 0

 

5x² + 4x + 4 = 0

Δ = 4² - 4 · 5 · 4 = 16 - 80 = - 64 < 0

Równanie nie ma rozwiązań

 

Odp. x = 0

 

b)

x⁵ - 2x⁴ - 15x³ = 0

x³ · (x² - 2x - 15) = 0

x³ = 0  ∨  x² - 2x - 15 = 0

 

x³ = 0

x = 0

 

x² - 2x - 15 = 0

Δ = (- 2)² - 4 · 1 · (- 15) = 4 + 60 = 64; √Δ = 8

x₁ = ²⁻⁸/₂·₁ = ⁻⁶/₂ = - 3

x₂ = ²⁺⁸/₂·₁ = ¹⁰/₂ = 5

 

Odp. x = - 3 lub x = 0 lub x = 5

 

c)

Jest to nierówność wymierna, więc możemy ją przekształcić następująco:

 

 

Jest to nierówność wielomianowa, więc szukamy miejsc zerowy:

 

--------------------------------------------------------------------------

Rozłożymy wielomian x³-8x²+11x+ 20 na czynniki> W tym celu sprawdzimy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite:

W(-1) = (-1)³-8·(-1)²+11·(-1)+ 20 = -1-8-11+20 = 0

Zatem wielomian W(x) dzieli się przez dwumian (x + 1)

(x³-8x²+11x+ 20) : (x + 1) = x²-9x+20

-x³-x²

-------

-9x²+11x+20

+9x²+9x

---------------

20x + 20

-20x - 20

--------------

R = 0

Stąd:

x³-8x²+11x+ 20 = (x²-9x+20)(x+1)

--------------------------------------------------------------------------

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

Zaznaczamy wszystkie miejsca zerowe -1, 2, 4 i 5 na osi i rysujemy przybliżony wykres, który rysujemy z prawej strony od góry i wykres przecina oś OX w miejscach zerowych, bo pierwiastki są 1-krotne (patrz załącznik).

 

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności (x³-8x²+11x+ 20)(x - 2) > 0 z uwzględniemiem warunku, że x ≠ 2, które jest równocześnie rozwiązaniem nierówności wyjściowej:

 

Zad. 4

 

a)rozłóż wielomian na czynniki

 

b)podaj stopień wielomianu

Stopień wielomianu dla wielomianu jednej zmiennej jest to największa potęga zmiennej.

W(x)=x³ - 5x² - x + 5 - wielomian stopnia 5

 

c)oblicz wartość wielomianu W(- 2)

 

d) rozwiąż W(x) = 0

Na podstawie przykładu a możemy zapisać:

 

 

 

 

Odp. x = - 1 lub x = 1 lub x = 5