Question

zad.1.Uzasadnij że liczba x =16^{5} + 2^{15} jest podzielna przez 33.

zad.2. Wyznacz x widząc że a) (0,2)^{2x+5}-(0,2)^{3x+5}

zad.3 Uzasadnij, że dla dowolnej liczby naturalnej "n" liczba a=100^{n}+ 3^{5} -9^{2}+6 jest podziela przez 4

zad. 4 Wykaż że liczba

a)7^{15}+7^{16}+7^{17} jest podzielna przez 4

b) 8^{19}+5*8^{18}-4*8^{17}

Answer 1

Łatwiej byłoby mi tłumaczyć te zadania posługując się kongruencjami i pojęciem modula jednak nie jestem pewny czy je znasz więc postaram sie opisać je troche bardziej potocznie aby były łatwiej przyswajalne. Aha i jeżeli nie spotkałaś się z czymś takim jak ujemne reszty z dzielenia to nie jest to żaden błąd np liczba daje resztę 2 z dzielenia przez 3, można też zapisać ze liczba daje resztę -1 z dzielenia przez 3. Pozdrawiam

 

 

1) inaczej mówiąc, trzeba pokzać żę liczba x jest podzielna przez 3 i 11, 16 daje resztę 1 w dzieleniu przez 3 więc 16^5 też daje resztę jeden, 2 daje resztę -1 przy dzieleniu przez 3 więc 2^15 tez daje resztę -1 (wykładnik jest nieparzysty) sumująć otrzymujemy że liczba x daje resztę 0 więc jest podzielna przez 3.

 

16 daje resztrę 5 przy dzieleniu przez 11, 5^{5}=3125 które daje resztę 1 przy dzieleniu przez 11 (bo 3125=284*11+1) , 2^15=32760  które daje resztę -1 (lub jak wolisz 10) przy dzieleniu przez 11, sumując otrzymujemy liczbe podzielną przez 11 co kończy dowód.

 

2) zapis ten nie ma za bardzo sensu, ale jeżeli zamiast minusa miał być tam znak równości to takie same liczby dodatnie podniesione do danej potęgi będą sobie równe wtedy gdy wykładniki potęg będą równe, więc musi być 2x+5=3x+5 stąd x=0

 

3) 100 jest podzielne przez 4 więc dowolna potęga też będzie, trzeba pokazać, że 3^{5} -9^{2} +6 jest podzielne przez 4, 3 daje resztrę -1 przy dzieleniu przez 4 więc piąta potęga trójki też będzie dawać resztę -1, 9 daje resztę 1 więć jej druga potęga też będzie dawać resztę 1. 6 daje resztę 2, wykonując działania jak w poprzednim wyrażeniu tyle tylko że na resztach z dzielenia przez 4 mamy -1 -1+2 =0 więc liczba ta jest podzielna przez 4

 

4) 7^{15}+7^{16}+7^{17}=7^{15}(1+7+49) jakiś bląd, to wyrażenie nie jest podzielne przez 4

 

b) 8 jest podzielne przez 4 a to wyrażenie to suma pewnych wielokrotności 8, mozna wyciągnąć 8 przed nawias i teza jest oczywista