Question

Zad.1

Czworokąt ABCD jest kwadratem o boku a. Punkty X i Y są środkami boków AD i AB odpowiednio. Oblicz pole czworokąta XZTA.

Rysunek w załączniku.

Proszę o prawidłowe rozwiązanie. Dam naj.

Nie wiesz? Nie odpowiadaj. Każdą odpowiedź 'na odwal' zgłoszę.

Answer 1

Sposób rozwiązania z wykorzystaniem podobieństwa trójkątów

ΔATY ~ ΔDTC (mają równe kąty przy wierzchołku K oraz przy wierzchołkach A i C)

Obliczymy skalę podobieństwa tych trójkatów:

|AY| / |CD| = ½a / a = ½

Stąd:

h(ΔATY) / h(ΔDTC) = ½ ⇒ h(ΔATY) = ½ h(ΔDTC)

h(ΔATY) +  h(ΔDTC) = a ⇒ h(ΔDTC) = a - h(ΔATY)

Zatem:

h(ΔATY) = ½ (a - h(ΔATY))

h(ΔATY) = ½a - ½h(ΔATY)

h(ΔATY) + ½h(ΔATY) = ½a

³/₂h(ΔATY) = ½a  /:³/₂

h(ΔATY) = ⅓a

P(ΔATY) = ½·|AY|·h(ΔATY)

P(ΔATY) = ½·½a·⅓a

P(ΔATY) = ¹/₁₂a²

ΔDZX ~ΔDCX (kąt ADY i DCX są takie same a kąt DXZ jest współny, zatem kąty przy wierzchołkach Z i D są równe, czyli są proste)

Obliczamy skalę podobobieństwa

|XC|² = |XD|² + |DC|²

|XC|² = (½a)² + a²

|XC|² = ¼a² + a²

|XC|² = ⁵/₄a²

|XC| = √5a/2

|XD| / |XC| = ½a : √5a/2 = ½a · 2/√5a = 1/√5 = √5/5

k = √5/5

P(ΔDCX) = ½·|XD|·|DC|

P(ΔDCX) = ½·½a·a

P(ΔDCX) = ¼a²

P(ΔDZX) / P(ΔDCX) = k²

P(ΔDZX) = k² · P(ΔDCX)

P(ΔDZX) = (√5/5)² · ¼a²

P(ΔDZX) = ⁵/₂₅ · ¼a²

P(ΔDZX) = ⅕ · ¼a²

P(ΔDZX) = ¹/₂₀a²

P(ΔDYA) = ½·|AY|·|AD|

P(ΔDYA) = ½·½a·a

P(ΔDYA) = ¼a²

P(XZTA) = P(ΔDYA) - [P(ΔATY + P(ΔDZX)

P(XZTA) = ¼a² - ¹/₁₂a² - ¹/₂₀a²

P(XZTA) = ¹⁵/₆₀a² - ⁵/₆₀a² - ³/₆₀a²

P(XZTA) = ⁷/₆₀a²

Odp. Pole czworokąta XZTA wynosi ⁷/₆₀a².

To samo zadanie rozwiązane przeze mnie, ale za pomocą funkcji znajdziesz tu:

http://zadane.pl/zadanie/3570819