Question

Zad1
W kole o środku O i promieniu 4 cm naryjuj kąt środkowy AOB o mierze 120stopni a następnie znajdź punkty A' (prim)B' symetryczne do punktów A,B względem punktu O .Jak nazywa się czworokąt ABA'B'? Oblicz pole tego czworokąta
Zad2
W kole wpisano trójkąt równoramienny ABC , w którym kąt zawarty między promieniem a podstawą ma miarę 45stopni .Odległość wierzchołka C od boku AB jest równa 3pierwiastki z 2 (nie mam symboli więc pisze wyrazami).Oblicz długość boku AB tego trójkąta.
ZAD3
Oblicz miary kątów : wpisanego i środkowego ,wiedząc że łuk,na którym oparte śa kąty to
a ) jedna dwunasta okręgu (to ułamek)
b) cztery piąte okręgu (ułamek)
c) pięć dziewiątych okręgu (ułamek)
ZAd4
Średnica okręgu ma 8 cm długości .Określ położenie prostej k i tego okręgu,jeśli wiesz ,że odległość proste k od środka okręgu jest równa
a)2cm
b)6cm
c)4cm
Zad5
Przez końce średnicy okręgu poprowadzono styczne k i l . Jakie jest wzajemne położenie prostych k i l?
Zad 6
Wyraź w postaci liczby 10
1km ...............mm
1m.kwadratowy........................cm kwadratowych
1m.szećcienny .......................cm.sześcienny

Answer 1

Zad.1
Kąt AOB ma 120stopni (jest to kąt środkowy, oparty na 1/3 okręgu)
A' jest symetryczny do punktu A względem środka koła O, czyli leży na średnicy AA' (podobnie punkty B i B'). Zatem kąt ABA' jest kątem wpisanym opartym na średnicy AA' (ma 90 stopni), a kąt BAB' jest kątem wpisanym opartym na średnicy BB' (ma 90 stopni).
Zatem czworokąt ABA'B' jest prostokątem, którego przekątne AA' i BB' przecinają się pod kątem 120 stopni ( kąt środkowy AOB).
Korzystając z trójkąta AOB, można obliczyć bok AB.
AO = 4cm, kąt OAB = 30 stopni [suma kątów w trójkącie, (180-120)/2] sin30stopni=1/2, więc (1/2BA')/AO=1/2, czyli
1/2BA')/4cm=1/2, po obliczeniu bok BA'=4cm
cos30stopni=√3/2, więc 1/2AB/AO=√3/2,
czyli 1/2AB/4cm=√3/2, po obliczeniu bok AB= 4√3cm
Pole AB*BA'= 4√3cm*4cm =16√3cm²
Zadanie można też zrobić innymi metodami.

Zad.2
Dane:
trójkąt równoramienny ABC
odległość wierzchołka C od boku AB (środek boku oznaczamy D)
czyli CD=3√2
kąt zawarty między promieniem a podstawą (środek koła oznaczamy O)
czyli AO=BO=CO (trójkąt wpisany w koło)
kąt OAB = kąt ABO = 45 stopni
kąt AOB = 90 stopni (suma kątów w trójkącie AOB)
AD=DO=1/2AB (trójkąt ADO prostokątny równoramienny)
AO=DO*√2, czyli CO=DO*√2
CD = CO+DO=DO*√2+DO = 3√2 (podstawiamy dane z naszych obliczeń)
1/2AB*√2 + 1/2AB =3√2 (obie strony mnożymy przez 2 i wyłączamy AB przed nawias)
AB(√2 + 1)=6√2
AB=6√2/(√2 + 1) (usuwamy niewymierność z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez (√2 - 1))
AB= 12 - 6√2
Długość boku AB wynosi 12 - 6√2

Zadanie 3
A)1/12 okręgu
360stopni:12=30stopni
kąt środkowy ma 30 stopni, kąt wpisany 1/2*30stopni=15 stopni
B) 4/5 okręgu
4/5*360stopni=288stopni
kąt środkowy ma 288 stopni, kąt wpisany połowę środkowego 144stopnie
C) 5/9 okręgu
5/9 *360stopni=200stopni
kąt środkowy ma 200 stopni, kąt wpisany 100stopni

Zad.4
Średnica okręgu d = 8 cm czyli promień r = 4cm
Wzory: p oznacza odległość środka okręgu od prostej k
p > r (prosta nie ma punktów wspólnych)
p = r (okrąg styczny do prostej)
p < r (prosta przecina okrąg w dwóch punktach)
a) p = 2cm < r = 4cm (prosta inaczej sieczna przecina okrąg w dwóch punktach)
b) p = 6cm > r = 4cm (prosta nie ma punktów wspólnych)
c) p = 4cm jest równe r = 4cm (okrąg styczny do prostej, jeden punkt wspólny)

Zad.5
Przez końce średnicy okręgu poprowadzono styczne k i l . Jakie jest wzajemne położenie prostych k i l?
Proste k i l są równoległe (prosta k jest styczną do średnicy, czyli jest do niej prostopadła oraz prosta l jest styczną do tej samej średnicy czyli jest do niej prostopadła - dwie proste prostopadłe do tej samej prostej, są do siebie równoległe)

Zad 6
Wyraź w postaci liczby 10
[1km = 1000m = 100000cm = 1000000mm]
1km = (10 do potęgi szóstej) mm
1m² = (10 do potęgi czwartej) cm²
[1m = 100cm, więc 1m² = 100*100 cm² = 10000cm²]
1m³ = 10 do potęgi szóstej cm³
[1m = 100cm, więc 1m³ = 100*100*100 cm³ = 1000000cm³]