Question

Zad1.
Punkty a=(3,1),b=(7,3)są kolejnymi wierzchołkami kwadratu ABCD.
Wyznacz współrzędne wierzchołka C tego kwadratu.

zad2.
Asia rozwiązywała przed maturą zadania testowe z matematyki ( codziennie taką samą liczbę zadań ). i w sumie rozwiązała 448 zadań. Jeśli rozwiązywałaby codziennie o 4 zadania więcej , to rozwiązywałaby te zadania o 2 dni krócej. Oblicz, przez ile dni Asia rozwiązywała zadania przed maturą i ile zadań rozwiązywała każdego dnia.
zad.3
rozwiąż nierówność -20^2-x+1>0

Answer 1

Zad1.
Liczymy odległość między tymi punktami ( czyli długość boku tego kwadratu) √[(3-7)²+(1-3)²]=√[(-4)²+(-2)²]=√[16+4]=√20=√(5*4)=2√5

Teraz wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do odcinka AB przechodzącą przez punkt B.
Najpierw równanie prostej AB:
1=3a+b /*(-1)
3=7a+b

-1=-3a-b
3=7a+b
Dodaję stronami
2=4a
-4a=-2 /:(-4)
a=2/4
a=1/2

Zatem współczynnik prostej prostopadłej do AB jest równy -(1/[1/2])=-2, zatem mamy już że wygląda ona tak y=-2x+b, przechodzi przez punkt B zatem wstawiamy współrzędne do równania i liczymy b
3=(-2)*7+b
-b=-14-3
-b=-17 /:(-1)
b=17
Prosta ta ma równanie y=-2x+17

Teraz wyznaczamy równanie okręgu o środku w punkcie B i promieniu długości AB, punkty wspólne tego okręgu i prostej y=-2x+17 dadzą dwa możliwe rozwiązania
równanie okręgu (x-7)²+(y-3)²=(√20)², czyli(x-7)²+(y-3)²=20
Mamy układ równań
(x-7)²+(y-3)²=20
y=-2x+17

x²-14x+49+(-2x+17-3)²=20
x²-14x+49+(14-2x)²=20
x²-14x+49+196-56x+4x²=20
5x²-70x+225=0 /:5
x²-14x+45=0
Δ=196-180=16, x₁=5, x₂=9
y₁=-2*5+17=-10+17=7
y₂=-2*9+17=-18+17=-1

Zatem dwa możliwe rozwiązania to (5,7) lub (9,-1)

zad.3
-20x²-x+1>0
Rozkładamy ten trójmian z delty
Δ=(-1)²-4*1*(-20)=1+80=81, √Δ=9
x₁=[-(-1)-9]/(2*(-20))=(-8)/(-40)=1/5
x₂=[-(-1)+9]/(2*(-20))=10/(-40)=-1/4
Rysujemy oś, zaznaczamy na niej punkty 1/5 oraz -1/4, rysujemy parabolę przechodzącą przez te punkty, parabola ma ramiona w dół (bo przy x² stoi liczba (-20) a ona jest mniejsza od zera) i patrzymy na tę część która jest ponad osią i odczytujemy że
x∈(-1/4, 1/5)

Z zadaniem nr 2 mam problem :)