Question

Zad.1
Długość jednego z boków trójkąta jest równa 6 cm, a cosinus kąta leżącego przy tym boku wynosi \frac{1}{3}. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, jeżeli promień okręgu na nim opisanego jest równy 9cm.

zad.2
Dany jest trójkąt ABC o bokach |AC|= 6 i |BC|= . Na boku AC tego trójkąta obrano punkt D a na boku BC punkt E tak ,że ∡CDE = 30° i ∡DEC= 45° oraz promień okręgu opisanego na trójkącie CDE jest równy 2√2. Wykaż, że odcinki DE i AB są równoległe.

Answer 1

1. niech α - ten kąt przy boku 6cm, -> α to kąt ostry, bo cosinus jest dodatni, co więcej
   α>45, bo cos na przedziale (0,90) jest malejący i cos45 = 1/√2 > 1/3 = cosα
    β to kąt naprzeciwko boku 6cm
z tw. sinusów wiemy, że:
6/sinβ = 2*9  -> sinβ = 1/3 = cosα =sin(90-α)
ponieważ  β i 90-α są kątami z przedziału (0,180), to albo
β = 90-α , albo  β = 180 - (90 - α)
ta druga opcja odpada, ponieważ trzeci kąt w trójkącie byłby równy
180-α-β =90-2α < 0, zatem
β = 90-α  -> α+β =90  -> jest to trójkąt prostokątny -> przeciwprostokątna ma długość 18 i z tw. Pitagorasa liczymy trzeci bok:
√(18^2 - 6^2) = √324 - 36 = √288 = 12√2
zatem promień okręgu wpisanego w trójkącie prostokątnym to:
(a+b-c)/2 = (6+12√2 - 18)/2 = 6√2 - 6

2. z tw. sinusów dla trójkąta CED wiemy, że:
CE/sin30 = CD/sin45 = 2* 2√2 
-> CE = 4√2 * sin30 = 2√2  -> BE = BC-CE = 3√2 - 2√2 = √2
-> CD = 4√2 * sin45 = 4  -> AD = AC-CD = 6-4 = 2
zauważmy, że AD/DC = BE/EC = 2, zatem z tw. odwrotnego do tw. Talesa odcinki AB i DE są równoległe c.b.d.u