Question

1. Dane są punkty A(2,2) B(0,3) i C(1,4). Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta A'B'C' będącego obrazem trójkąta ABC w jednokładności o środku w punkcie O (0,0) wiedząc, że obraz wierzchołka C należy do prostej x+y=15

2. Wyznacz równanie stycznej do okręgu x^2+y^2+2x+4y-12=0 prostopadłej do prostej y= 4x- pierwiastek z 2

Answer 1

1. z def. jednokładności C', C, O leżą na jednej prostej. Zatem C' to punkt przecięcia prostych CO i y=-x+15
wyznaczmy prostą CO: y=ax+b
4 = a + b
0= b             -> prosta CO = 4x
-> C' = (x,y)
y=-x+15
y=4x   -> -x+15 = 4x -> x=3, y=12
C' = (3,12)
wektor OC' = (3,12) = 3* (1,4) = 3* OC -> skala jednokładności to 3
-> OB' = 3* OB = (0,9) -> B'=(0,9)
-> OA' = 3*OA = (6,6) -> A' =(6,6)

2. x^2 + y^2 +2x+4y - 12 =0
  x^2+2x+1 + y^2 + 4y +4 - 17 = 0
(x+1)^2 + (y+2)^2 = 17
prosta prostopadła do y=4x - √2  -> y=-1/4x + b
teraz dobrać tak b, żeby układ równań miało dokładnie jedno rozwiązanie
| (x+1)^2 + (y+2)^2 = 17
| y= -1/4x + b        


żeby było dokładnie jedno rozwiązanie, to delta = 0

zatem równania stycznych to: