Question

Zad. z równań kwadratowych

12.21 Pole trójkąta prostokątnego jest równe 84 cm2, suma długości przyprostokątnych jest równa 26 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

12.22 Pole trapezu równoramiennego jest równe 220cm2. Podstawy trapezu i jego wysokość zapisano w postaci wyrażen albebraicznych h = c+2, a= 3x+6, c=x+6. Oblicz długość boków.

12.23 Iloczyn dwóch liczb jest równy 24. Wiedząc, że jedna z liczb jest o 2 większa od drugiej, znajdź te liczby.

Answer 1

12,21

a,b= przyprostokatne

 

p=½ab=84   /*2

ab=168

a+b=26

 

b=26-a

.............

a(26-a)=168

26a-a²=168

a²-26a+168=0

Δ=b²-4ac=676-672=4

√Δ=2

a₁=[-b-√Δ]/2a=[26-2]/2=12

a₂=[-b+√Δ]/2a=[26+2]/2=14

przyprostokatne maja dł. 12cm i 14cm

12,22

h=wysokosc=c+2

a= podstawa=3x+6

c=podstawa=x+6

p=½(a+c)h=220

(3x+6+x+6)(2+x+6)=440

(4x+12)(x+8)=440

4x²+32x+12x+96-440=0

4x²+44x-344=0  /;4

x²+11x-86=0

Δ=121+344=465

√Δ=√465

x₁=[-11-√465]/2= sprzeczne bo liczba ujemna

x₂=[-11+√465]/2

długośc boków;

a= dłuzsza podstawa; 3x+6=3(-11+√465)/2   +6=1,5√465-10,5

b=krótsza podstawa;x+6=-5,5+½√465+6=0,5+0,5√465

h=x+8=-5,5+0,5√465+8=2,5+0,5√465

 

k=dł. ramion

a=b+2z

1,5√465-10,5=0,5+0,5√465+2z

2z=1,5√465-10,5-0,5-0,5√465

2z=√465-11

z=0,5√465-5,5

z pitagorasa;

k=√[(2,5+0,5√465)²+(0,5√465-5,5)²]=√[6,25+2,5√465+116,25+116,25-5,5√465+30,25]=

√[269-3√465]

12,23

x,y=szukane liczby

xy=24

y=x+2

x(x+2)=24

x²+2x-24=0

Δ=4+96=100

x₁=[-2-10]/2=-6

x₂=[-2+10]/2=4

y₁=x+2=-6+2=-4

y₂=x+2=4+2=6

szukane liczby to 4 i 6 lub -4 i -6

Answer 2

zad12.21) P=1/2 a h  

a -podstawa (I przyprostokątna) 

h - wysokość (II przyprostokątna)

 

P=1/2 a h  /*2  ⇒ 2P=ah ⇒2*84=ah⇒168=ah

 

a+h=26

ah=168 

 

a=26-h

(26-h)h=168

 

a=26-h

-h²+26h-168=0

 

Δ=b²-4ac=676-4*(-1)*(-168)=676-672=4

h₁=(-b-√Δ)/2a=(-26-2)/-2=14

h₂=(-b+√Δ)/2a=(-26+2)/-2=12

 

Przyprostokątne wynoszą 12cm i 14cm

 

zad12.23)

x=y+2

xy=24

 

x=y+2

(y+2)*y=24

 

x=y+2

y²+2y-24=0

 

Δ=b²-4ac=4-4*1*(-24)=4+96=100

y₁=(-b-√Δ)/2a=-2-10/2=-6

y₂=(-b+√Δ)/2a=-2+10/2=4

 

x₁=y₁+2=-6+2=-4

x₂=y₂+2=4+2=6

 

szukane liczby to -4; -6  i 4 ;6

 

zad 12.22

Pole trapezu równoramiennego jest równe 220cm2. Podstawy trapezu i jego wysokość zapisano w postaci wyrażen albebraicznych h = c+2, a= 3x+6, c=x+6. Oblicz długość boków.

 

P= [(a+c)*h]/2  /*2

2*220=(3x+6+x+6)*(c+2)

440= (4x+12)*(x+6+2)

440=(4x+12)*(x+8)

440=4x²+32x+12x+96

-4x²-44x+344=0 /:4

-x²-11x+86=0

Δ=b²-4ac=121-4*(-1)*86=121+344=465

x₁=(-b-√Δ)/2a=(11-√465)/-2≈(11-21,56)/-2≈5,28

x₂=(-b+√Δ)/2a=(11+√465)/-2≈(11+21,56)/-2≈-16,28

 

a=3x+6=3*5,28+6=21,84

c=x+6=5,28+6=11,28

h= c+2=11,28+2=13,28

 

w celu obliczenia długości ramion trapez dzielę wysokościami na prostokąt i 2 identyczne (równe sobie Δ) .Δ te są prostokątne i jedną przyprostokątną jest wysokość trapezu a drugą należy wyliczyć z różnicy podstaw trapezu :2

k=(a-c)/2=(21,84-11,28)/2= 5,28

nając obie przyprostokątne obliczam przeciwprostokątną która jest zarazem ramieniem trapezu

k²+h²=r²

(5,28)²+(13,28)²=r²

r²=204,2368

r=14,29

 

Boki trapezu mają długości

a=21,84cm

c=11,28cm

r₁=r₂=14,29cm