Question

1. Równanie symetralnej odcinka o końcach P=(1,2) Q=(3,-2) ma postać...

2. Trójkąt o wierzchołkach A=(0,0) B=(1,4) C=(5,2) ma pole...

3. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P=(0,8) i środek odcinka AB gdzie A=(-1,3) B=(3,7)

4. Wyznacz równanie symetralnej odcinka, jeżeli :

A= (-4, -6) B=(2,-4)

5. 2 kolejne wierzchołki kawadratu mają współrzędne A = (-1,3) B =(3,-3)

Pole tego kwadratu wynosi...

6. Dane są wierzchołki czworokąta A=(-2,4) B=(6,4) C=6,-4) D=(-2, -4) Długość przekątnej BD wynosi...

Proszę o dokładne obliczenia.

Answer 1

1:

 

P=(1,2)  Q=(3,-2)

 

Najpierw należy wyznaczyć równanie prostej zawierającej ten odcinek. A więc:

 

a=  y₂-y₁ / x₂-x₁ =-2-2 /3-1 =-2

 

a' = ½

 

S(p,q)= ( (1+3)/2 , (2-2)/2 ) = (2,0)

 

teraz wzór na symetralną (przechodzi przez środek odcinka):

 

Obliczamy b:

 

0=½*2+b

b=-1

 

Równanie ma postać: y = ½*x - 1 

 

 

2:

  A=(0,0) B=(1,4) C=(5,2)

 

|AB|= √(1-0)²+(4-0)²=√17

 a=4 0=4*0+b  

y=4x

 

|BC|=√(5-1)²+(2-4)²=√16+4=√20

 a=2-4/5-1=-2/4=-1/2

 4=-1/2*1+b y=-1/2+9/2

 

|AC|=√(5-0)²+(2-0)²=√29

a=2/5

y=2/5*x

 

3:

P=(0,8)  A=(-1,3) B=(3,7) 

 

S(A,B)=( (-1+3)/2 , (3+7)/2 )=(1,5)

 

a= y₂-y₁ / x₂-x₁ =(5-8)/(1-0) = -3

 

8=-3*0+b

b=8

 

Równanie wygląda następująco : y=-3x+8

 

4:

 A= (-4, -6) B=(2,-4)

S(AB)= ( (-4+2)/2 , (-6+(-4))/2 )=(-1,-5)

 

a=(-4+6)/(2+4)=1/3

 

a'=-3

 

-5=-3*(-1)+b

b=-8 

 

Równanie wygląda następująco: y=-3x-8

 

5:

a=|AB|=√(-1-3)²+(3-(-3))²=√16+36=√52=2√13

 

P=a²=52 [j²]

 

6:

|BD|=√(-2-6)²+(-4-4)²=√64+64=√128=8√2

 

Answer 2

1. 

P=(1,2) Q=(3,-2)
Zanim wynnaczymy równanie symetrlanej nalezy znaleźć równanie prostej przechodzacej przez dane punkty, czyli

 

y = ax + b

-2 = 3a + b ---- / * (-1)

2 = a + b

 

2 = -3a - b

2 = a + b

----------------

4 = -2a

a = -2

 

2 = -2 + b

b = 2 + 2

b = 4

 

y = -2x + 4 ----- równanie prostej PQ

 

Teraz liczymy współrzędne środka odcinak PQ, środej oznaczę literą A

A = [ (1 + 3)/ 2 ; (-2 + 2) / 2 ]

A = (2 , 0) --- wspólrzędne środka odcinak PQ

 

Zatem symetralna jest prostopadła do prostej PQ i przechodzi przez pkt. A

y = ax + b   _|_   y = -2x + 4    i  A = (2, 0)

a * (-2) = -1 ---- warunke prostopadłosci prostych

a = 1/2

 

0 = 1/2 *  2 + b ------ podstawiłam za x = 2, y = 0(wspólrzędne pkt. A)  i a = 1/2 

0 = 1 + b

b = -1

 

y = 1/2x - 1 ------- równanie symetralnej 

 

 

2.
A=(0,0) B=(1,4) C=(5,2)
Liczymy długosć podstawy tego trójkata:
|AC|= √[(5 - 0)² + (2 - 0)²] = √(25 + 4) = √29
Wyznacze równanie prostej AC

y = ax + b

 

0 = 0 + b ---- współrzedne pkt. A podstawiam

2 = 5a + b

 

b = 0

2 = 5a

a = 2/5

 

y = 2/5x + 0

y = 2/5x  ----- równanie prostej AC

 2/5x - y = 0 -----postać ogólna  

 Wysokość w tym trójkacie to odległość pkt. B od prostej AC, zatem

h = d = | 2/5 * 1 - 1 * 4 + 0 | / √((2/5)² + (-1)²)

= | 2/5 - 4 | / √(4/25 + 1) = | -3 i 3/5 | / √29/25 = 3 i 3/5 : √29 / 5 = 

18/5 * 5/√29 = 18 / √29 = 18√29 / 29 

 

P = 1/2 * |AC| * h

P = 1/2 * √29 * 18 / √29

P = 9cm² 

3.

A=(-1,3) B=(3,7)

C = [ (-1 + 3) / 2 ; (3 + 7) / 2 ] = (1, 5) ---- środek odcinka AB

 

C = (1, 5) P = (0, 8)

 

y = ax  +b

5 = a + b

8 = 0 + b

 

b = 8

5 = a + 8

 

b = 8

a = -3

 

y = -3x + 8 ---- równanie prostej PC 

4.
A= (-4, -6) B=(2,-4)
C =[ (-4+2)/2 , (-6+(-4))/2 ] = (-1, -5) --- środek odcinka AB

-4 = 2a + b

-6 = -4a + b --- / *(-1)

 

-4 = 2a + b

6 = 4a - b

--------------

2  = 6a

a = 1/3

 

-4 = 2/3 + b

-4 - 2/3 = b

b = -4 i 2/3

 

y = 1/3 x - 4 i 2/3 ---- równanie prostej AB

prosta AB _|_ y = ax + b    i   C = (-1, -5) 

1/3 * a = -1

a = -3

 

-5 = -3*(-1) + b

-5 = 3 + b

b = - 8

 

y = -3x - 8 -------- odpowiedź 

 

5.
a=|AB|=√[ (-1-3)² + (3-(-3))²] = √(16 + 36) = √52 = 2√13 --- bok kwadratu

P = a²

P = (2√13)²

P = 4 * 13 = 52 ---------------- odpowiedź

6.

B = (6, 4)   D = (-2, -4)

|BD|= √[(-2 - 6)² + (-4 - 4)²] = √(64 + 64) = √128 = 8√2  --- odpowiedź