14) lim x mendekati 0 dari x tan 2x /1-cos^2x adalah...15)lim x mendekati 0 dari 4x cos6x

October 2019 1 89 Report

14) lim x mendekati 0 dari x tan 2x /1-cos^2x adalah...
15)lim x mendekati 0 dari 4x cos6x - 4x /(2x)^2 sin5x adalah
16) lim (x-1) mendekati 0 dari (3x+1)sin(x-1) /(x^2+2x-3) sama dengan

wiyonopaolina

Verified answer

Jawab :

14. Nilai limitnya adalah 2 (D)

15. Nilai limitnya adalah $- \: \frac{18}{5} \: (A)$

16. Nilai limitnya adalah 1 (D)

Pembahasan

LIMIT TRIGONOMETRI

Untuk limit x menuju 0, berlaku rumus

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{sin \:x} \:=\:\lim_{x \to 0} \frac{sin \: x}{x}\:=\:1\\\lim_{x \to 0} \frac{ax}{sin \:bx} \:=\:\lim_{x \to 0} \frac{sin \: ax}{bx}\:=\: \frac{a}{b}$

$\lim_{x \to 0}\frac{x}{tg \:x} \:=\:\lim_{x \to 0} \frac{tg \: x}{x}\:=\:1\\\lim_{x \to 0} \frac{ax}{tg \:bx} \:=\:\lim_{x \to 0} \frac{tg \: ax}{bx}\:=\:\frac{a}{b}$

Dari keduanya disimpulkan

$\lim_{x \to 0} \frac{sin \: ax}{sin\:bx} \:=\:\lim_{x\to 0} \frac{sin\: ax}{ sin\: bx}\:=\: \frac{a}{b}$

$\lim_{x \to 0}\frac{tg \: ax}{tg \:bx}\:=\:\lim_{x \to 0} \frac{tg \: ax}{ tg\: bx}\:=\: \frac{a}{b}$

$\lim_{x \to 0} \frac{tg \: ax}{sin\:bx} \:=\:\lim_{x \to 0} \frac{sin\: ax}{ tg\: bx}\:=\: \frac{a}{b}$

Rumus - Rumus Trigonometri

sin² x + cos² x = 1

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos² x - sin² x

cos 2x = 2 cos² x - 1

cos 2x = 1 - 2 sin²x

$tg \: 2x = \frac{2 \: tg \: x}{1 \:-\: tg^2\: x}$

Diket

14. $\lim_{x \to 0} \frac{x \: tg \: 2x}{1 \:-\: cos^2 \: x}$

15. $\lim_{x \to 0} \frac{4x \: cos\: 6x \: -\: 4x}{(2x)^2\: sin\: 5x}$

16. $\lim_{(x - 1) \to 0} \frac{(3x \:+\:1) \: sin \: (x \:-\:1)}{x^2 \:+\: 2x \: -\:3}$

Dit

Nilai semua limit ?

Penjelasan :

14. sin² x + cos²x = 1

sin² x = 1 - cos²x

$\lim_{x \to 0} \frac{x \: tg \: 2x}{1 \:-\: cos^2 \: x} \\=\:\lim_{x \to 0} \frac{x \: tg \: 2x}{sin^2 \: x}\\=\:\lim_{x \to 0} \frac{x}{sin \: x}\: \frac{tg \: 2x}{sin \: x}$

= 1 × 2

= 2

Jawaban D

15. cos 2x = 1 - 2 sin² x

cos 2x - 1 = - 2 sin² x

cos 6x - 1 = - 2 sin² 3x

$\lim_{x \to 0} \frac{4x \: cos\: 6x \: -\: 4x}{(2x)^2\: sin\: 5x}\\=\:\lim_{x \to 0} \frac{4x\: (cos\: 6x \: -\: 1)}{4x^2\: sin\: 5x}\\=\:\lim_{x \to 0} \frac{-\:2 \: sin ^2\: 3x }{x\: sin\: 5x}$

$=\:\lim_{x \to 0}-2 \: \frac{sin \: 3x}{x} \: \frac{sin \: 3x}{sin \: 5x} \\=\:-2 \: \times \: 3 \: \times \: \frac{3}{5}$

= $- \: \frac{18}{5}$

Jawaban A

16. Misalkan a = x - 1

Maka x = a + 1

3x + 1 = 3 (a + 1) + 1 = 3a + 3 + 1

= 3a + 4

x + 3 = a + 1 + 3

= a + 4

$\lim_{(x - 1) \to 0} \frac{(3x \:+\:1)\: sin \: (x \:-\:1)}{x^2 \:+\: 2x \:-\:3}\\=\:\lim_{(x - 1) \to 0} \frac{(3x \:+\:1) \: sin \: (x \:-\:1)}{(x \:+\: 3) \: (x \:-\: 1)}$

$\lim_{a \to 0} \frac{(3a \:+\:4) \: sin \: a}{(a \:+\: 4) \: a} \\ \lim_{a \to 0} \frac{3a \:+\: 4}{a \:+\: 4} \: \frac{sin \: a}{a}\\=\: \frac{0 \: + \: 4}{0 \:+\: 4} \: \times \: 1$