Question

Wyznacz równanie wszystkich asymptot wykresu funkcji:A
f(x)= x^2-x-12 / x+1

Odpowiedź: x=-1 asymptota pionowa
y=x-2 asymptota ukośna

Answer 1

F(x) = (x² - x - 12) / (x + 1)
Asymptotę pionową stanowi liczba "wyrzucona" z dziedziny, więc obliczamy dziedziną
x + 1 ≠ 0
x ≠ -1
Asymptota pionowa x = -1
Asymptotę ukośną jest prosta o równaniu y = ax + b, gdzie a wyliczamy z wzoru
a = lim(dla x do ∞) f(x) / x = lim (x² - x - 12) / (x + 1) / x =
= lim (x² - x - 12) / (x² + x) =
= lim (x²/x² - x/x² - 12/x²) / (x²/x² + x/x²) =
= lim (1 - 1/x - 12/x²) / (1 + 1/x) =
wyrażenia 1/x, i 12/x² dla x -> ∞ dążą do zera
= 1/1 = 1
b = lim(dla x->∞)  [f(x) - ax] =
= lim [(x² - x - 12) / (x + 1) - 1x] =
= lim [(x² - x - 12) / (x + 1) - (x² + x) / (x + 1)] =
= lim [(x² - x - 12 - x² - x) / (x + 1)] =
= lim [(-2x - 12) / (x + 1)] =
= lim [(-2x/x - 12/x) / (x/x + 1/x)] =
= lim [(-2 - 12/x) / 1 + 1/x)]
wg zasady j.w.
= -2/1 = -2
y = x - 2