Question

Potrzebuję na zaraz.

1. Skróć wyrażenia

a) 5x²y/10x³y
b) x-y/y-x
c) a²/a²+ab
d) a²+3ab/a²b+3ab

2. Wykonaj działania

a) 3/a-b + 2/a+b
b) 2/x²-9 + 1/x+3
c) 2/x+2 + x-3/x²-4 - 2x+1/x²-4x+4
d) 9xy/5ab * 3ab/4yx * 4bz/3axy
e) 8b²cd/9a² : 7cd/12a³
f) a²-25/a²-3a : a²+5a/a²-9

3. Określ dziedzinę funkcji wymiernej

a) y = 2x-3/x+2
b) y = x²+3x-5/x²-3x+2
c) y = x/x(x²-4x+3)

5. Rozwiąż równania wymierne:

a) 2/x-3 = 3/2x+1
b) 2x+3/3x+2 = 6x+6/5x+4
c) 3/x-1 - 4x-1/x+1 = x²+5/x²-1 - 5 (do ułamka całego ostatniego)

6. Rozwiąż nierówności wymierne.

a) 4x-2/x+4 <0
b) 3x-1/x+2 >1
c) x²-3x+2/x²-9 <0

Answer 1

Wyrażenie w [ ] to ułamek, a / to kreska ułamkowa

1.
a) [5x²y / 10x³y] = [1 / 2x]

b) [x-y / y-x] = [-(-x+y) / y-x] = -1

c) [a² / a²+ab] = [a² / a(a+b)] = [a / a+b]

d) [a²+3ab / a²b+3ab] = [a(a+3b) / ab(a+3)] = [a+3b / b(a+3)]

2.
a) [3 / a-b] + [2 / a+b] = [3(a+b) / (a-b)(a+b)] + [2(a-b) / (a-b)(a+b)] = [3a+3b / (a-b)(a+b)] + [2a-2b / (a-b)(a+b)] = [3a+3b+2a-2b /(a-b)(a+b)] = [5a-b /(a-b)(a+b)] = [5a-b / a²-b²]

b) [2 / x²-9] + [1 / x+3] = [2 / (x-3)(x+3)] + [1 / x+3] = [2 / (x-3)(x+3)] + [x-3 / (x-3)(x+3)] = 2+x-3 / (x-3)(x+3)] = [x - 1 / (x-3)(x+3)] = [x - 1 / x²-9]

c) [2 / x+2] + [x-3 / x²-4] - [2x+1 / x²-4x+4] = [2 / x+2] + [x-3 / (x-2)(x+2)] - [2x+1 / (x-2)²] = [2 / x+2] + [x-3 / (x-2)(x+2)] - [2x+1 / (x-2)(x-2)] = [(2(x-2)(x-2) / (x+2)(x-2)(x-2)] + [(x-3)(x-2) / (x+2)(x-2)(x-2)] - [(2x+1)(x+2) / (x+2)(x-2)(x-2)] = [2(x²-4x+4) / (x+2)(x-2)(x-2)] +[x²-2x-3x+6 / (x+2)(x-2)(x-2)] - [ 2x²+4x+x+2 / (x+2)(x-2)(x-2)] = [2x²-8x+8+x²-2x-3x+6-2x²-4x-x-2 / (x+2)(x-2)(x-2)] = [x²-18x+12 / (x+2)(x-2)(x-2)] = [x²-18x+12 / (x+2)(x-2)²]

d) [9xy / 5ab] * [3ab / 4yx] * [4bz / 3axy] = [9bz / 5axy]

e) [8b²cd / 9a²] : [7cd / 12a³] = [8b²cd / 9a²] * [ 12a³ / 7cd] = [32ab² / 21]

f) [a²-25 /a²-3a] : [a²+5a / a²-9] = [(a-5)(a+5) /a(a-3) * [(a-3)(a+3) / a(a+5)] = [(a-5)(a+3) / a²]

3. Dziedzinę funkcji wymiernej wyznaczamy znajdując pierwiastki mianowników, czyli dziedzina to R \ {miejsca zerowe mianowników}, bo do dziedziny funkcji wymiernej nie należą liczby, dla których mianowniki mają wartość 0.
a) y = [2x-3 / x+2]
x+2 = 0
x = -2 czyli
D: x ∈ R \ {-2}

b) y = {x²+3x-5 / x²-3x+2}
x²-3x+2 = 0
Δ = 9-8 = 1
√Δ = 1
x₁ = [3-1 / 2] = 1
x₂ = [3+1 / 2] = 2
D: x ∈ R \ {1, 2}

c) y = [x / x(x²-4x+3)]
x(x²-4x+3) = 0
x₁ = 0 ∨ x²-4x+3 = 0
Δ = 16-12 = 4
√Δ = 2
x₂ = [4-2 / 2] = 1
x₃ = [4+2 / 2] = 3
D: x ∈ R \ {0, 1, 3}

5.
a) Jeżeli równanie ma postać proporcji (równość dwóch ułamków). To iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.
[2 / x-3] = [3 / 2x+1]
- ustalamy dziedzinę
x-3 = 0
x = 0
2x+1 = 0
2x = -1 /:2
x = -½
D: x ∈ R \ {-½, 0}
- porównujemy iloczyny wyrazów skrajnych i środkowych i rozwiązujemy otrzymane równanie
2(2x+1) = 3(x-3)
4x+2 = 3x-9
4x-3x = -9-2
x = -11
- sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny
-11 ∈ D
Odp. x = -11

b) [2x+3 / 3x+2] = [ 6x+6 / 5x+4]
3x+2 = 0
3x = -2 /:3
x = -⅔
5x+4 = 0
5x = -4 /:
x = -⅘
D: x ∈ R \ {-⅘, -⅔}
(2x+3)(5x+4) = (6x+6)(3x+2)
10x²+8x+15x+12 = 18x²+12x+18x+12
10x²+8x+15x+12-18x²-12x-18x-12 = 0
-8x²-7x = 0
x(-8x-7) = 0
x = 0 ∨ -8x-7 = 0
-8x = 7 /:(-8)
x = -⅞
0 ∈ D
-⅞ ∈ D
Odp. x₁ = 0, x₂ = -⅞

c) [3 / x-1] - [4x-1 / x+1] = [x²+5 / x²-1] - 5
x²-1 = (x-1)(x+1)
x-1 = 0
x = 1
x +1 = 0
x = -1
D: x ∈ R \ {-1, 1}
[3 / x-1] - [4x-1 / x+1] = [x²+5 / x²-1] - 5
[3(x+1) /(x-1)(x+1)] - [(4x-1)(x-1) / (x-1)(x+1)] = [x²+5 / (x-1)(x+1)] - [5(x²-1) / (x-1)(x+1)]
[3x+3 /(x-1)(x+1)] - [4x²-4x-x+1 /(x-1)(x+1)] = [x²+5 /(x-1)(x+1)] - [5x²-5 /(x-1)(x+1)]
[3x+3-4x²+4x+x-1 /(x-1)(x+1)] = [x²+5-5x²+5 /(x-1)(x+1)] /*x-1)(x+1)
3x+3-4x²+4x+x-1 = x²+5-5x²+5
3x+3-4x²+4x+x-1-x²-5+5x²-5 = 0
8x-8 = 0
8x = 8 /:8
x = 1
1∉ D
Odp. Równanie nie ma rozwiązań

6.
a) [4x-2/ x+4] < 0
x+4 = 0
x = -4
D: x ∈ R \ {-4}
[4x-2/ x+4] < 0
Iloraz(ułamek) zamieniamy na iloczyn i rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową, która ma takie samo rozwiązanie jak powyższa nierówność.
(4x-2)(x+4) < 0
4x-2 = 0 ∨ x+4 = 0
4x = 2 /:4 ∨ x = -4
x = ½ ∈ D ∨ x = -4 ∉ D
Teraz należy narysować przybliżony wykres (tu raczej tego się nie da zrobić). Napiszę jak to się robi:
- na osi liczbowej zaznaczamy pierwiastki, należy pamiętać, że będą należały do rozwiązania jeśli nierówność jest nieostra, czyli ≤ lub ≥ oraz to, że jeśli jakiś pierwiastek nie należał do dziedziny to nie będzie należał do rozwiązania
- rysujemy przybliżony wykres zaczynając zawsze od PRAWEJ (od góry, jeżeli wielomian zaczyna się od liczby dodatniej, od dołu, jeżeli wielomian zaczyna się od liczby ujemnej)
- wykres przecina oś dla pierwiastka o krotności nieparzystej, natomiast dla pierwiastka o krotności parzystej wykres będzie się "odbijał" od osi (krotność pierwiastka to wartość potęgi przy x lub przy nawiasie, jeżeli wielomian jest rozłożony na czynniki)
- wartości na osią x zaznaczamy "+", a pod osią x "-"
- zapisujemy rozwiązanie :))) łatwe
Wykres dla tej nierówności to parabola z ramionami skierowanymi w górę przechodząca przez punkty ½ i -4 na osi. Wartości mają być < 0, czyli leżą pod osią x, odczytujemy rozwiązanie:
x ∈ (-4, ½)

b) [3x-1 / x+2] > 1
[3x-1 / x+2] - 1 > 0
x+2 = 0
x = -2
D: x ∈ R \ {-2}
[3x-1 / x+2] - 1 > 0
[3x-1 / x+2] - [x+2 / x+2] > 0
[3x-1-x-2 / x+2 > 0
[2x-3 / x+2] > 0
(2x-3)(x+2) > 0
2x-3 = 0 v x+2 = 0
2x = 3 /:2 v x = -2
x = 1½ ∈ D v x = -2 ∉ D
x ∈ (-∞, -2) U (1½, +∞)

c) [x²-3x+2 / x²-9] < 0
x²-9 = 0
(x-3)(x+3) = 0
x-3 = 0 v x+3 = 0
x = 3 v x = -3
D: x ∈ R \ {-3, 3}
[x²-3x+2 / x²-9] < 0
(x²-3x+2)(x²-9) < 0
(x²-3x+2)(x-3)(x+3) < 0
Δ = 9-8 = 1
√Δ = 1
x₁ = [3+1 / 2] = 2
x₂ = [3-1 / 2] = 1
Postać iloczynowa: a(x-x₁)(x-x₂)
(x-2)(x-1)(x-3)(x+3) < 0
x-2 = 0 v x-1 = 0 v x-3 = 0 v x+3 = 0
x = 2 v x = 1 v x = 3 v x = -3
x₁ = 2 ∈ D
x₂ = 1 ∈ D
x₃ = 3 ∉ D
x₄ = -3 ∉ D
x ∈ (-3, 1) u (2, 3)