Question

NA WCZORAJ!!!

1. Uporządkuj wielomiany rosnąco i malejąco:

W(x) = 3x²-x³+x⁴+1-x⁵
W(x) = 5x+x⁴+x²+3x⁶
W(x) = -2x²+2x³-x⁴+10x
W(x) = 3x⁵+4x-3+x³+x¹⁰-5x⁷+3x²

2. Dane są wielomiany:

W(x) = x⁵+x³-1
P(x) = x⁴+4x³-x²+2
G(x) = 2x⁴+x²+3

Wykonaj działania: W(x)+P(x), P(x)-3G(x), 2W(x)+G(x)

3. Podziel wielomiany i wykonaj sprawdzenie:

a) W(x) = x⁴+8x³+12x²-12x-9 P(x) = (x+3)
b) W(x) = x⁴+5x³-12x²+5x-1 P(x) = (x-1)

1. Podziel wielomian W(x) przez dwumian P(x) stosując schemat Hornera i dla sprawdzenia wyniku wykonaj dzielenie sposobem pisemnym.

a) W(x) = x⁴+6x³-x²-2x-3 P(x) = (x+2)
b) W(x) = x⁶-8x⁴-3x²+4x P(x) = (x-3)

2. Rozłóż wielomiany na czynniki:

a) W(x) = x³-5x²-x+5
b) W(x) = x⁵+x⁴+3x³+3x²-4x-4
c) W(x) = x³+2x²-16x-32
d) W(x) = x³+4x²-12x-48

3. Rozwiąż równania wielomianowe:

a) x⁴-1=0
b) 2x³-8x²-2x+8=0
c) x³-3x²+4x-12=0
d) x³+2x²-3x-6=0

Answer 1

1.
Wielomiany uporządkowane malejąco:
W(x) = 3x²-x³+x⁴+1-x⁵ = -x⁵+x⁴-x³+3x²+1
W(x) = 5x+x⁴+x²+3x⁶ = 3x⁶+x⁴+x²+5x
W(x) = -2x²+2x³-x⁴+10x = -x⁴+2x³-2x²+10x
W(x) = 3x⁵+4x-3+x³+x¹⁰-5x⁷+3x²=x¹⁰-5x⁷+3x⁵+x³+3x²+4x-3
Wielomiany uporządkowane rosnąco:
W(x) = 3x²-x³+x⁴+1-x⁵ = 1+3x²-x³+x⁴-x⁵
W(x) = 5x+x⁴+x²+3x⁶ = 5x+x²+x⁴+3x⁶
W(x) = -2x²+2x³-x⁴+10x = 10x-2x²+2x³-x⁴
W(x) = 3x⁵+4x-3+x³+x¹⁰-5x⁷+3x²= -3+4x+3x²+x³+3x⁵-5x⁷+x¹⁰

2.
W(x) = x⁵+x³-1
P(x) = x⁴+4x³-x²+2
G(x) = 2x⁴+x²+3

W(x)+P(x) = x⁵+x³-1+x⁴+4x³-x²+2 = x⁵+x⁴+5x³-x²+1
P(x)-3G(x) = x⁴+4x³-x²+2-3*(2x⁴+x²+3) = x⁴+4x³-x²+2-6x⁴-3x²-9 = -5x⁴+4x³-4x²-7
2W(x)+G(x) = 2*(x⁵+x³-1)+2x⁴+x²+3 =2x⁵+2x³-2+2x⁴+x²+3 = 2x⁵+2x⁴+2x³+x²+1

3a.
W(x) = x⁴+8x³+12x²-12x-9
P(x) = x+3
(x⁴+8x³+12x²-12x-9) : (x+3) = x³+5x²-3x-3
-x⁴-3x³
______
5x³+12x²-12x-9
-5x³-15x²
________
-3x²-12x-9
+3x²+9x
_______
-3x-9
+3x+9
_____
= =
Spr. (x³+5x²-3x-3)*(x+3) = x⁴+5x³-3x²-3x+3x³+15x²-9x-9 = x⁴+8x³+12x²-12x-9
Wynik: (x⁴+8x³+12x²-12x-9) = (x+3) * (x³+5x²-3x-3)

3b.
W(x) = x⁴+5x³-12x²+5x-1
P(x) = x-1
(x⁴+5x³-12x²+5x-1) : (x-1) = x³+6x²-6x-1 r. -2
-x⁴+x³
_____
6x³-12x²+5x-1
-6x³+6x²
_______
-6x²+5x-1
6x²-6x
______
-x-1
x-1
___
-2
Spr. (x³+6x²-6x-1)*(x-1)-2 = x⁴+6x³-6x²-x-x³-6x²+6x+1-2 = x⁴+5x³-12x²+5x-1
Wynik: (x⁴+5x³-12x²+5x-1) = (x-1) * (x³+6x²-6x-1) -2

1a.
W(x) = x⁴+6x³-x²-2x-3
P(x) = x+2
Schemat Hornera stosuję, gdy dzielę wielomian przez dwumian (x - c)

(x⁴+6x³-x²-2x-3 ) : (x+2)
c = -2

1 | 6 | -1 | -2 | -3 |
__________________________________________________________
1 | 1*(-2)+6 = 4 | 4*(-2)-1 = -9 | -9*(-2)-2 = 16 |16*(-2)-3 = -35 |

Do górnego wiersza tabelki wpisuję współczynniki wielomianu. W dolnym wierszu tabelki pierwszy przepisuję, taki jaki jest w górnym wierszu, a pozostałe obliczam jak pokazano w tabelce.

Wynikiem dzielenia jest wielomian o stopień niższy czyli trzeciego stopnia. W dolnym wierszu otrzymano jego współczynniki: 1, 4, -9, 16 i resztę -35. Wynik dzielenia można zapisać równaniem:
x⁴+6x³-x²-2x-3 = (x³+4x²-9x+16)*(x+2) - 35
Spr. (x³+4x²-9x+16)*(x+2) - 35 = x⁴+4x³-9x²+16x+2x³+8x²-18x+32-35 = x⁴+6x³-x²-2x-3

1b.
W(x) = x⁶-8x⁴-3x²+4x
P(x) = x-3
(x⁶-8x⁴-3x²+4x) : (x-3)
c = 3
Sporządzamy tabelkę jak w zad. a) z tym, że wpisujemy zero, gdy nie ma jakiegoś wyrazu z kolejną potęgą. Dolne współczynniki obliczamy według wzoru z zad. a.

1 | 0 | -8 | 0 | -3 | 4 | 0 |
_______________________________
1 | 3 | 1 | 3 | 6 | 22 | 66 |
Wynik dzielenia zapisujemy równaniem:
(x⁶-8x⁴-3x²+4x) = (x⁵+3x⁴+x³+3x²+6x+22)*(x-3)+66
Spr. (x⁵+3x⁴+x³+3x²+6x+22)*(x-3)+66 = x⁶+3x⁵+x⁴+3x³+6x²+22x-3x⁵-9x⁴-3x³-9x²-18x-66+66 = x⁶-8x⁴-3x²+4x

2.
a) W(x) = x³-5x²-x+5 = x²(x-5)-(x-5) = (x²-1)(x-5) = (x+1)(x-1)(x-5)
b) W(x) = x⁵+x⁴+3x³+3x²-4x-4 = x⁴(x+1)+3x²(x+1)-4(x+1) = (x⁴+3x²-4)(x+1)
c) W(x) = x³+2x²-16x-32 = x²(x+2)-16(x+2)= (x²-16)(x+2) = (x+4)(x-4)(x+2)
d) W(x) = x³+4x²-12x-48 = x²(x+4)-12(x+4) = (x²-12)(x+4) = (x+2√3)(x-2√3)(x+4)

3a.
x⁴-1 = 0
(x²)² - 1 = 0
(x²+1)(x²-1) = 0
(x²+1)(x+1)(x-1) = 0
x²+1 = 0 ∨ x+1 = 0 ∨ x-1 = 0
x² = -1 ∨ x = -1 ∨ x = 1
x∈Ф ∨ x₁ = -1 ∨ x₂ = 1
Rozwiązaniem równania są liczby: -1 i 1

3b.
2x³-8x²-2x+8 = 0
2x²(x-4)-2(x-4) = 0
(2x²-2)(x-4) = 0
2(x²-1)(x-4) = 0 /:2
(x²-1)(x-4) = 0
(x+1)(x-1)(x-4) = 0
x+1 = 0 ∨ x-1 = 0 ∨ x-4 = 0
x = -1 ∨ x = 1 ∨ x = 4
x₁ = -1 ∨ x₂ = 1 ∨ x₃ = 4
Rozwiązaniem równania są liczby: -1, 1, 4

3c.
x³-3x²+4x-12 = 0
x²(x-3)+4(x-3) = 0
(x²+4)(x-3) = 0
x²+4 = 0 ∨ x-3 = 0
x² = -4 ∨ x = 3
x∈Ф ∨ x₀ = 3
Rozwiązaniem równania jest liczba 3

3d.
x³+2x²-3x-6 = 0
x²(x+2)-3(x+2) = 0
(x²-3)(x+2) = 0
(x+√3)(x-√3)(x+2) = 0
x+√3 = 0 ∨ x-√3 = 0 ∨ x+2 = 0
x = -√3 ∨ x = √3 ∨ x = -2
x₁ = -√3 ∨ x₂ = √3 ∨ x₃ = -2
Rozwiązaniem równania są liczby: -√3, √3, -2