Question

Bardzo proszę o pomoc w zadaniach :)
Proszę o pełne odpowiedzi, dam daj jeśli takie będą wraz z wykresami jeśli takowe są potrzebne. Zgłaszam odpowiedzi niepełne i nieprawidłowe. Bardzo proszę o czytelne odpowiedzi :) po kolei - wraz z rowiązaniem odnośnie delty . Pozdrawiam


1. Podaj równanie osi symetrii paraboli o równaniu y = 2x² - 12x -16

2. Pan Nowak kupił telewizor na raty za 3200 zł. Gdyby rat było o 8 mniej to byłyby one o 20 zł wyższe. Oblicz wysokość raty mniejszej i większej.

3. Sprawdź, czy liczby 2, -1, 3 są pierwiastkami wielomianu W(x) = 3x³-5x² -3x+5

4. Suma dwóch liczb wynosi 42. Znajdź te liczby tak by suma ich kwadratów była największa

5. Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji y = 3x²- 4x + 1 w przedziale

6. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(-2,5) i W (-6, 1)

7. Podaj miejsce zerowe funkcji y = (2x -6) / (x² - 5x)

8. Dla jakiej wartości parametru m funkcja y = mx² - 6x +4 ma dwa miejsca zerowe

9. Podaj przedziały monotoniczności funkcji y = 5x² -10x +12

10. x³ - 2x² +9x -18 =0

11. 3 - |4x - 2| > -12

12. Napisz funkcję kwadratową y = -2 (x +4)(x -5) w postaci kanonicznej

13. Znajdź wzór funkcji kwadratowej przechodzącej przez punkty S( -2, 1), C( 0, 5) , K ( -1, 0)

14. Znajdź największą wartość funkcji y = - 3x² + 6x -11

Answer 1

1. Podaj równanie osi symetrii paraboli o równaniu

y = 2x² - 12x -16
a = 2   b = -12   c = -16

p = -b/2a = 12/4 = 3

odp. x = 3

2. Pan Nowak kupił telewizor na raty za 3200 zł. Gdyby rat było o 8 mniej to byłyby one o 20 zł wyższe. Oblicz wysokość raty mniejszej i większej.
ilość rat  ---- x

 

3200     3200

------- = ---------- + 20

(x - 8)        x

 

3200     3200 + 20x

------- = ----------------

(x - 8)            x

 

(3200 + 20x)(x - 8) = 3200 * x

3200x  - 25 600 + 20x² - 160x = 3200x

20x² - 160x - 25 600 = 0

x² - 8x - 1280 = 0

Δ = 64 + 5120 = 5184

√Δ = 72

x1 = (8 - 72)/2 = - 64)/2 = -32  < 0

x2 = (8 + 72) / 2 = 80/2 = 40

 

x = 40

wysokość mniejszej raty ---- 3200 /x = 3200/40 =  80zł

wysokość iwekszej raty ----- 3200/(x - 8) = 3200/32 = 100zl

3. Sprawdź, czy liczby 2, -1, 3 są pierwiastkami wielomianu W(x) = 3x³-5x² -3x+5
W(x) = 3x³-5x² -3x+5

W(x) = x²(3x - 5) - (3x - 5)

W(x) = (3x  -5)(x² - 1)

W(x) = (3x - 5)(x - 1)(x + 1)

                  5/3     1        -1        <-------  pierwiastki wielomianu

odp. Z podanych liczb tylko (-1) jest pierwiastkiem wielomianu.

4. Suma dwóch liczb wynosi 42. Znajdź te liczby tak by suma ich kwadratów była największa.

 

1 liczba --- x

2 liczba ----42 - x

 

y = x² + (42 - x)²

y = x² + 1764 - 84x + x²

y = 2x² - 84x + 1764

y = x² - 42x + 882

 

a = 1 > 0 a więc ramiona paraboli są skierowane ku górze, a w takim przypadku osiąga ona tylko wartość najmniejszą, nie ma wartości największej.

Być może w treści zadania powinno być "suma ich kwadratów była najmniejsza".

A ta wartość najmniejsza to:

x = p = -b/2a = 42/2 = 21 

 

1 liczba --- x = 21

2 liczba ----42 - x = 42 - 21 = 21

 

 

5. Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji y = 3x²- 4x + 1 w przedziale <-2, 4>
y = 3x²- 4x + 1

p = -b/2a = 4/6 = 2/3

Δ = 16 - 12 = 4

q = -Δ/4a = -4/12 = -1/3

W = (2/3; -1/3)  ---- wierzchołek paraboli

 

f(-2) = 3 * (-2)² - 4 * (-2) + 1 = 3 * 4 + 8 + 1 = 21

f(4) = 3 * 4² - 4 * 4 + 1 = 3 * 16 - 16 + 1 = 48 - 16 + 1 = 33

 

f min(2/3) = -1/3   ---- wartość najmniejsza

f max (4) = 33    ----- wartość największa

6. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(-2,5) i W (-6, 1)
y = ax  +b

 

5 = a * (-2) + b    ----  podstawiłam wspoł. pkt. A

1 = a * (-6) + b   ----   podstawiłam współ. pkt. W

 

-2a + b = 5    /*(-1)

-6a + b = 1

 

2a - b = -5

-6a + b = 1

---------------

-4a = -4

a = 1

 

-2 + b = 5

b = 7

 

odp. y = x + 7

7. Podaj miejsce zerowe funkcji

y = (2x -6) / (x² - 5x)

D:

x² - 5x ≠ 0

x(x - 5) ≠ 0

x ≠ 0  i  x≠ 5

D = R \ {0, 5}

 

2x - 6 = 0

2x = 6

x = 3

odp. x = 3

8. Dla jakiej wartości parametru m funkcja y = mx² - 6x +4 ma dwa miejsca zerowe
m≠ 0

Δ > 0   --- warunek na to aby fun. kwadratowa miała 2 pierwiastki, zatem

y = mx² - 6x +4

Δ = (-6)² - 4 * m * 4 = 36 - 16m

 

36 - 16m > 0

-16m > - 36

m < 36/16

m < 9/4    i    m≠ 0

odp. m ∈ (-oo, 0) u (0, 2 i 1/4)

9. Podaj przedziały monotoniczności funkcji

y = 5x² -10x +12

a = 5   b = -10    c = 12

p = -b / 2a = 10 / 10 = 1

a = 5 > 0  więc parabola ramiona ma skierowane do góry, to

odp.

dla x ∈ (-oo, 1)  funkcja jest malejąca

dla x ∈ (1, +oo) funkcja jets funkcją rosnącą

10.

x³ - 2x² +9x -18 =0

x²(x - 2) + 9(x - 2) = 0

(x  -2)(x² + 9) = 0

x - 2 = 0   lub     x² + 9 = 0

x = 2                   x² = -9

                           x ∈ {Ф}

odp. x = 2

11.

3 - |4x - 2| > -12

- |4x - 2| > - 12 - 3

- | 4x - 2| > - 15  /* (-1)

|4x - 2| < 15

4x - 2 < 15   i     4x - 2 > - 15

4x < 17                4x > - 13

x < 4,25                 x > - 3,25

odp. x ∈ (-3,25 ; 4,25)

12. Napisz funkcję kwadratową y = -2 (x +4)(x -5) w postaci kanonicznej

y = -2 (x +4)(x -5)

y = -2(x² - 5x + 4x - 20)

y = -2(x² - x - 20)

y = -2x² + 2x + 40

p= -b/2a = -2/(-4) = 1/2

Δ = 4 + 320 = 324

q = -Δ/4a = -324/(-8) = 40,5

 

odp. y = -2(x - 1/2)² + 40,5

13. Znajdź wzór funkcji kwadratowej przechodzącej przez punkty S( -2, 1), C( 0, 5) , K ( -1, 0)
y = ax² + bx + c  

1 = a * (-2)² + b * (-2) + c      <---- podstawiłam wspoł. pkt. S

5 = a * 0² + b  * 0 + c           <---- podstawiłam wspoł. pkt. C

0 = a * (-1)² + b*(-1) + c       <---- podstawiłam wspoł. pkt. K

 

1 = 4a - 2b + c

5 = c

0 = a - b + c

 

4a - 2b + 5 = 1

a - b + 5 = 0

 

4a - 2b = - 4

a - b = -5

 

2a - b + -2

-a + b = 5

------------------

a = 3

 

3 - b = -5

-b = -5 - 3

b = 8

 

odp. y = 3x² + 8x + 5

14. Znajdź największą wartość funkcji

y = - 3x² + 6x -11

a = -3   b = 6   c = - 11

p = -b/2a = -6/(-6) = 1

Δ = 6² - 4 * (-3) * (-11) = 36 - 132 = - 96

q = -Δ/4a = 96/(-12) = - 8

 

odp.  f min (1) = - 8 

 

 

Answer 2

zadanie 1

oś symetrii funkcji kwadratowej ma zawsze równanie

 

zadanie 2

wysokość mniejszej raty - x

ilość rat w takim przypadku - y

 

wysokość większje raty - x+20

ilość rat w takim przypadku  - y -8

 

założenia :

x>0

y>8

 

 

Wysokość mniejszej raty to 80zł,a  większej raty to 100zł

 

zadanie 3

liczba a jest pierwiastkiem równania wtedy gdy : W(a) =0

 

 

zadanie 4

 

czyli ramiona paraboli są skierowane w górę, osiąga ona tylko wartość najmniejszą, nie ma wartości największej

 

na wszelki wypadek policzę dla wartości najmniejszej :

 

 

wtedy takie liczby to 21 i 21

 

 

zadanie 5

 

zadanie 6

równanie prostej wyraża się wzorem :

y=ax+b

podstawiamy współrzędne naszych punktów

 

 

 

zadanie 7

najpierw zajmę się dziedziną funkcji

 

teraz miejsce zerowe pamiętając o tym, że ułamek jest równy zero wtedy gdy licznik jest równy zero

 

zadanie 8

żeby funkcja miała dwa miejsca zerowe musi być przede wszystkim funkcją kwadratową :

 

 

 

 

zadanie 9

na monotoniczność zawsze ma wpłym p

ramiona paraboli są skierowane w górę, zatem funkcja najpierw maleje, a później rośnie

 

 

zadanie 10

 

zadanie 11

 

zadanie 12

 

zadanie 13

zacznijmy do punktu (0,5)

 

 

 

 

zadanie 14