Question

Bardzo proszę o pomoc w zadaniach :) Proszę o pełne odpowiedzi, dam daj jeśli takie będą wraz z wykresami jeśli takowe są potrzebne. Zgłaszam odpowiedzi niepełne i nieprawidłowe. Bardzo proszę o czytelne odpowiedzi :) po kolei - wraz z rozwiązaniem odnośnie delty itp. Pozdrawiam - zadania w zalączniku

Answer 1

1.

(x - 4)² + (y + 2)² = 25

S = (4, -2)  -----  współrzedne środka okregu

d = √[ (4 - 0)² + (-2 - 0)²] = √[ 4² + (-2)²] = √(16 + 4) = √20 = 2√5  ----  odpowiedź

 

2

x² + y² + 4x -10y + 4 = 0

x² + y² - 2ax - 2by + c = 0   ------  wzór na równanie okregu

-2a = 4      i     -2b = -10

a = - 2                  b = 5

S = (a, b) = (-2, 5)   -----  Srodek okręgu

r = √(a² + b² - c) = √(4 + 25 - 4) = √25 = 5   ----  promień okregu

 

3.

(x+2)² + (y-4)²= 20

S = (-2, 4)    -------  środek okegu

r = √20 = 2√5  

 

y = -3x - 2

3x + y + 2 = 0

A = 3,  B = 1,  C = 2

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)   ----  wzór na odległośc pkt. S = (x₀, y₀) = (-2, 4) od prostej

d = |3 * (-2) + 1 * 4 + 2| / √(9 + 1)

d = | -6 + 4 + 2| / √10

d = 0 / √10

d = 0   tzn że nasza prosta przechodzi przez środek naszego okręgu, zatem

odp. Prosta ma 2 pkt. wspólne z okregiem.

 

4.

A = (-1, 4)   B = (2, 5)

D = [ (-1 + 2)/2 ; (4 + 5)/5 ]

D = (1/2 ; 9/5)    --------  wspołrzedne pkt. D

 

C = (5, -1)   i D = (1/2; 9/5)

prosta CD:

y = ax + b

-1 = a * 5 + b

9/5 = a * 1/2 + b     /*(-10)

 

5a + b = -1

-5a - 10b = -18

---------------------

9b = -19

b = -19/9

 

5a + b = -1

5a = -1 - (-19/9)

5a = -9/9 + 19/9

5a = 10/9

a = 10/9 * 1/5

a = 2/9

 

odp. y = 2/9x - 13/9

 

5.

y = -3x - 2  _|_   y = ax + b    ⇔  -3 * a = -1

                                                            a = 1/3

y = 1/3x + b   i  P = (-1, 4)

                                   x   y

4 = 1/3 * (-1) + b

4 = -1/3 + b

4 + 1/3 = b

b = 4 i 1/3

 

odp.  y = 1/3x + 4 i 1/3

 

6.

A(2,2), B(8,5), C(5,8), D(2,6)

a = |AB| = √[(8 - 2)² + (5 - 2)² ] = √ (6² + 3²) = √(36 + 9) = √45 = 3√5

b = |CD| = √[(2 - 5)² + (6 - 8)²] = √[(-3)² + (-2)²] = √(9 + 4) = √13

 

A(2,2),  B(8,5)

y = ax + b

 

5 = 8a + b

2 = 2a + b

 

8a + b = 5

-2a - b = -2

--------------

6a = 3

a = 3/6 = 1/2

 

2 = 2a + b

2 = 2 * 1/2 + b

2 = 1 + b

b = 1

 

y = 1/2x + 1

1/2x - y + 1 = 0

x - 2y + 2 = 0

A = 1,  B = -2,  C = 2   i   D = (2, 6)

h = d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) 

h = d = |1 * 2 - 2 * 6 + 2| / √(1 + 4)

h = d = | 2 - 12 + 2| / √5

h = d =  |-8| / √5

h = 8√5 / 10 

 

P = 1/2 * (a + b) * h

P = 1/2 * (3√5 + √13) * 8√5 / 10

P = 2/5 √5 (3√5 + √13)

P = 2/5 (15 + √65)

 

7.

A(2,2), B(8,5), C(5,8), D(2,6)

|AB| = √[(8 - 2)² + (5 - 2)² ] = √ (6² + 3²) = √(36 + 9) = √45 = 3√5

|BC| = √[(8 - 5)² + (5 - 8)² ] = √ (3² + (-3)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2

|CD| = √[(2 - 5)² + (6 - 8)²] = √[(-3)² + (-2)²] = √(9 + 4) = √13

|AD| = √[(2 - 2)² + (6 - 2)²] = √[0² + 4²] = √(0 + 16) = √16 = 4

 

Ob = 3√55+ 3√2 + √13 + 4

 

 

 

8.

(x-2)² + (y+2)²= 4

S = (2, -2)  i   r = 2

y = 3x - 1

3x - y - 1 = 0

A = 3,  B = -1,  C = -1

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)   ----  wzór na odległośc pkt. S = (x₀, y₀) = (2, -2) od prostej

d = |3 * 2 - 1 * (-2) - 1| / √(9 + 1)

D = | 6 + 2 - 1| / √10

d =  7 / √10

d = 7√10 / 10   ~  2,2   > 2

odp. Prosta nie jest sieczną bo prosta  ta nie ma pkt. wspólnego z okręgiem.

 

 

 

9.

A = (-2, 3)   i B = (3, -5)

y = ax + b

 

3 = -2a + b

-5 = 3a + b

 

2a - b = -3

3a + b = -5

-----------------

5a = -8

a = -8/5

a = -1,6

 

3 = -2 *(-1,6)  +b

3 = 3,2 + b

3 - 3,2 = b

b = -0,2

 

prosta AB:  y = -1,6x - 0,2

 

1,6x + y + 0,2 = 0   i  C = (0, 0)

A = 1,6,  B = 1,  C = 0,2

h = d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) 

h = d = |1,6 * 0 + 1 * 0 + 0,2| / √(2,56 + 1)

h = d = |0,2| / √3,56

h = d = 0,2 / √3,56

h = d = 0,2√3,56 / 3,56 = 10√3,56 / 178

 

 

 

10.

y = -2x +4; y = 3x+1; y = -x-2

A:

y = -2x + 4

y = 3x + 1

 

3x + 1 = -2x + 4

5x = 3

x = 3/5

y = 3x + 1 = 3 * 3/5 + 1 = 9/5 + 1 = 2 i 4/5

 

A = (3/5 ; 2 i 4/5)   -----  współrzędne wierzchołka A

 

B:

y = -2x + 4

y = -x - 2

 

-x - 2 = -2x + 4

x = 6

y = -x - 2 = -6 - 2 = -8

 

B = (6, -8)    ----  wspołrzedne wiechołka B

 

C:

y = 3x + 1

y = -x - 2

 

-x - 2 = 3x + 1

-x - 3x = 1 + 2

-4x = 3

x = -3/4

y = -x - 2 = 3/4 - 2 = - 1 i 1/4

 

C = (-3/4 ; - 1 i 1/4)    ---------  współrzędne pkt. C

A = (3/5 ; 2 i 4/5)   -----  współrzędne wierzchołka A

B = (6, -8)    ----  wspołrzedne wiechołka B

 

|AC| = √[ (-3/4 - 3/5)² + (-1 I 1/4 - 2 I 4/5)²] = √[(-15/20 - 12/20)² + (-1 i 5/20 - 2 i 16/20)²] =

√[(- 27/20)² + (-3 i 21/20)²] = √[ 729/400 + (-81/20)²] = √ [ 729/400 + 6561/400) =

√(7290/400) = 27√10/20

 

|BC| = √[ (-3/4 - 6)² + (-1 I 1/4 + 8)²] = √[(- 6 I 3/4)² + (6 I 3/4)²] = √[(-27/4)² + (27/4)²] =

= √ [ 729/16 + 729/16) = √(2 * 729) /16 = ) = 27√2/ 4

 

|BA| = √[ (3/5 - 6)² + (2 i 4/5+ 8)²] = √[(-5 i 2/5)² + (10 i 4/5)²] = √[(-27/5)² + (54/5)²] =

= √ [ 729/25 + 2916/25) = √3645 /25 = ) = 27√5/ 5

 

Ob = 27√10/20  + 27√2/ 4  + 27√5/ 5

 

 

11.

K = (-1, 4)   i    M = (3, 0)

O = [ (-1 + 3)/2 ; (4 + 0)/2 ]

O = (2/2 ; 4/2)

O = (1, 2)   --------  współrzędne pkt. przeciecią się przekątnych równoległoboku

 

N  = (x, y)  i L = (1, 2)    i  O = (1, 2)   hm z tego wynika że N = O a co zatem idzie wszystkie te pkt. K, L , M, N lezą na jednej prostej, wiec coś nie tak z tym zadaniem, sprawdź czy dobre pkt. podałeś!

 

12.

3x -2, 12, 5x-5

   a1    a2    a3

a2 - a1 = a3 - a2

12 - (3x - 2) = 5x - 5 - 12

12 - 3x + 2 = 5x - 17

-3x - 5x = -17 - 14

-8x = -31

x = 31/8

x = 3 i 7/8

 

13.

y = x² - 5x +2

a = 1,  b = -5,  c = 2

p = -b/2a = 5/2

odp. x = 2,5

 

14.

y = 2x² - 5x +2 w przedziale <-3; 4>

p = -b/2a = 5/4

Δ = 25 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9

q = -Δ/4a = -9/8

 

W = (p, q) = (5/4 ; -9/8)  ---  wierzchołek paraboli

 

F(-3) = 2 * (-3)² - 5 * (-3) + 2 = 18 + 15 + 2 = 35

F(4) = 2 * 4² - 5 * 4 + 2 = 32 - 20 + 2 = 14

odp.

f max (-3) = 35

f min (5/4 ; -9/8)

 

15.

y = ( 3x -5) / (9x² -25)

D:

9x² -25 ≠ 0

(3x - 5)(3x + 5) ≠ 0

x ≠ 5/3   i   x ≠ -5/3

D = R \ {-5/3 ; 5/3}

 

m. z.:

3x - 5 = 0

3x = 5

x = 5/3 ∉ D

odp. Funkcja nie posiada miejsc zerowych.

 

16.

y = 2(m+3) x – 6

Funkcja jest rosnąca jesli a > 0, atem

2(m + 3) > 0   /:2

m + 3 > 0

m > - 3

odp. m ∈ (-3, +oo)

 

17.

a3 = 12

a5 = 48

 

a1 * q² = 12

a1 * q⁴ = 48

 

a1 * q² * q² = 48

12 * q² = 48

q² = 4

q = 2   lub   q = -2

 

a1 * 2² = 12

a1 = 12 : 4

a1 = 3

 

Otrzymujemy ciąg: 3, 6, 12, ....   lub  ciąg: 3, -6, 12, ......

 

Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)

S4 = 3 * (1 - 2^4) / (1 - 2)

S4 = 3 * (1 - 16) / (-1)

S4 = 3 * (-15) / (-1)

S4 = 3 * 15

S4 = 45  ---------  odpowiedź

lub

S4 = 3 * (1 - 2^4) / (1 + 2)

S4 = 3 * (1 - 16) / 3

S4 = 3 * (-15) / 3

S4 = 3 * (-5)

S4 = -15  ---------  odpowiedź

 

18.

y = 5x² - 6x +4

p = -b/2a = 6/10 = 3/5

Δ = 36 - 4 * 5 * 4 = 36 - 80 = - 44 

q = -Δ/4a = 44/20 = 11/5

odp. f min (3/5) = 11/5 = 2,2