Question

zadanie1: Sporzadz wykres funkcji f(x)=6/x-4-2. Podaj dziedzine przeciwdziedzina funkcji i zbadaj jej monotonicznosc. zadanie2: zbadaj ktory z ponizszych ciagow jest ciagiem arytmetycznym lub geometrycznym: a)an=-3n+8 b)an=-ndo kwadratu +3 c) an=(-3) do kwadratu.

Answer 1

z.1

 

f(x) = 6 / ( x - 4)  - 2

--------------------------

Df = R \ { 4 }

PDf = R \ { - 2}

 Mamy

f(-4) = 6/( - 4 - 4)  - 2 = - 3/4 - 2 = - 2 3/4

f( -2) = 6 /( - 2 - 4) - 2 = - 1 - 2 = - 3

f( 0 ) = 6/( 0 - 4) - 2 = - 1  1/2 - 2  = - 3  1/2

f(1) = 6 / ( 1 - 4) - 2 = - 2 - 2 = - 4

f( 2) = 6 / ( 2 - 4) - 2 = -3 - 2 = - 5

f(3) = 6 / ( 3 - 4) - 2 = - 6 - 2 = - 8

 

oraz

f(5) = 6/( 5 - 4) - 2 = 6 - 2 = 4

f(6) = 6 / ( 6 - 4) - 2 = 3 - 2 = 1

f( 7) = 6/( 7 - 4) - 2 = 2 - 2 = 0

f(8 ) = 6/ ( 8 - 4) - 2 = 1 1/2 - 2  = - 1/2

f( 10) = 6 /( 10 - 4) - 2 = 1 - 2 = - 1

 

Wykres - załącznik

---------------------------

Niech x1 < x2  , wtedy

f(x1) - f(x2) = 6/( x1 - 4) - 2  - [ 6/( x2 - 4) - 2 ] = 6/( x1 - 4) - 6/( x2 - 4) > 0

czyli  f(x1) > f(x2)  -  funkcja f jest malejaca w swojej dziedzinie:

W ( - oo; 4 ) funkcja  f  maleje  od - 2  do  - oo, a w  ( 4 ; + oo )  funkcja f maleje

od  + oo do   - 2 .

 

Asymptoty:

Pionowa :  x = 4

Pozioma:  y = - 2

====================

z.2

a)

an = - 3 n + 8  , więc  an+1 = - 3*( n + 1) + 8 = - 3 n - 3 + 8 = - 3 n + 5

zatem

an+1  - an = - 3 n + 5  - ( - 3 n + 8) =  - 3 

r = - 3   -  ciąg ( an)  jest  arytmetyczny.

-----------------------------------------------------

b)

an = - n^2 + 3

więc

an+1 = - (n + 1)^2 + 3 = -( n^2 + 2 n + 1) + 3 = - n^2 - 2 n - 1 + 3 = - n^2  - 2 n + 2

zatem

an+1  - an = [ - n^2 -2 n + 2 ] - [ - n^2 + 3] = - 2 n  - 1   - ciąg nie jest arytmetyczny.

oraz

a1 = - 1^2 + 3 = -1 + 3 = 2

a2 = - 2^2 + 3 = - 4 + 3 = - 1

a3 = - 3^2 + 3 = - 9 + 3 = - 6

więc

a2 : a1 = - 1/2  oraz  a3 : a2 = 6   , zatem ciag (an) nie jest też geometryczny.

----------------------------------------------------------------------------------------------

c)

an = ( - 3)^2    -  jest to ciąg stały , zatem jest ciagiem arytmetycznym

o różnicy  r = 0   oraz ciagiem geometrycznym o ilorazie q = 1.

============================================================

 

Wykresem jest hiperbola .

--------------------------------------------------------