Question

BARDZO pilne!! ;)
Doprowadź do postaci
1/x-p+q

a)
y= 2x-3/x-2

b)
y= x+2/3x-1

c)
y= |2/x-3|-2

proszę o w miarę jasne wytłumaczenie :)

Answer 1

Funkcja postaci f(x)= (ax+b)/(cx+d) jest funkcją homograficzną
i można ją przedstawić w postaci kanonicznej
f(x)= k/(x-p) + q, gdzie k= (bc- ad)/c², p= -d/c, q= a/c
I) Każdy wzór przekształcamy tak, by móc dokonać skrócenia
licznika i mianownika ułamka pamiętając o założeniach
a)
y= (2x-3)/(x-2)
y= (2x-4+1)/(x-2) {dobieramy liczby tak, by w liczniku otrzymać
wyrażenie x- 2}
y= [2(x-2)+1]/(x-2) {wyłączamy przed nawias}
y= 2(x-2)/(x-2) + 1/(x-2) {korzystamy z własności dodawania
ułamków}
y= 2+ ¹/(x-2) {skracamy ułamek pamiętając, że x≠ 2}
y= ¹/(x-2) + 2
Albo możemy skorzystać z wzorów gotowych:
y= (2x-3)/(x-2)
a= 2, b= -3, c= 1, d= -2
k= (bc- ad)/c²= (-3+4)/1= 1
p= -d/c= 2/1= 2, q= a/c= 2/1= 2
y= k/(x-p) + qy= ¹/(x-2) + 2

b)
y= (x+2)/(3x-1) {wyłączamy w mianowniku 3 przed nawias}
y= (x+2)/[3(x-⅓)] {dobieramy liczby tak, by w liczniku otrzymać
wyrażenie x- ⅓}
y= [(x-⅓)+ 2⅓]/[3(x-⅓)] {korzystamy z własności dodawania
ułamków}
y= (x-⅓)/[3(x-⅓)]+ (2⅓)/[3(x-⅓)] {skracamy ułamek przez (x-⅓) pamiętając, że x≠ ⅓}
y= ⅓+ (2⅓)/[3(x-⅓)]
y= ⅓+ (⁷/₉)/(x-⅓) {2⅓: 3= ⁷/₃* ⅓= ⁷/₉}
y= (⁷/₉)/(x-⅓)+ ⅓
Albo możemy skorzystać z wzorów gotowych:
y= (x+2)/(3x-1)
a= 1, b= 2, c= 3, d= -1
p= -d/c= 1/3= ⅓, q= a/c= 1/3= ⅓
k= (bc- ad)/c²= (2*3+ 1*1)/3²= 7/9= ⁷/₉
y= k/(x-p) + qy= (⁷/₉)/(x-⅓) + ⅓

c)
y= |2/(x-3)|-2 {wartość bezwzględna I2I= 2}
y= 2/Ix-3I - 2
Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej
IaI= a, gdy a≥0 lub IaI= -a, gdy a<0
Zał. dla x-3≥0, x≥3 mamy
y= 2/(x-3) - 2
Zał. dla x-3<0, x<3 mamy
y= - 2/(x-3) - 2