Question

Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)=sin²x - sinx.

Zależy mi, żeby jutro rano przed szkołą spisać to zadanie. Jestem tu nowy, więc nie wiem dokładnie jak tu się ocenia, ale obiecuję, że jak wrócę ze szkoły to nagrodzę tego kto rozwiązał zadanie :)

Answer 1

Wyznacz zbiór wartości funkcji: f(x) = sin²x - sinx

 

Podstawimy t = sin x i mamy zwykłą funkcję kwadratową: g(t) = t² - t

Zbadamy jakie ta funkcja przyjmuje wartości na przedziale <-1, 1> (bo takie wartości przyjmuje t = sinx)

 

Najpierw obliczymy współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji g(t).

g(t) = t² - t

a = 1, b = - 1, c = 0

Δ = 1 - 0 = 1

 

Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w górę oraz pierwsza współrzędna wierzchołka jest w interesującym nas przedziale, to dokładnie w tym punkcie otrzymamy najmniejszą wartość funkcji i jest ona równa drugiej współrzędnej wierzchołka:

zatem najmniejsza wartość wynosi: - ¼

 

Wartość największą otrzymamy w jednym z końców przedziału <-1, 1>

g(-1) = (-1)² - (-1) = 1 + 1 = 2

g(1) = 1² - 1 = 1 - 1 = 0

zatem największa wartość wynosi: 2

 

Odp. ZW = <-¼, 2>