Question

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że zbiór wartości tej funkcji jest przedziałem (-∞, 18> , a wartość 10 funkcja przyjmuje dla dwóch wargumentów 3 oraz -1.

Prosze pomóżcie.

Daje naj :)

Answer 1

Na poczatek wykorzystamy informację o zbiorze wartości funkcji. Ekstremum (wierzchołek) przyjmuje wartość 18, a więc

 

-delta/4a = 18

-(b^2 - 4ac) = 4a *18

-b^2 + 4ac = 72a  [I]

 

Ponadto, ze zbioru wartości wynika, że parabola ma "ramiona" skierowane w dół, a więc wiemy, że współczynnik a<0.

 

Wykorzystując drugą informację, o punktach (3,10) i (-1,10), otrzymujemy:

 

10 = 3^2a + 3b + c   

10 = 9a + 3b + c  [II]

 

10 = (-1)^2 -1b +c

10 = a - b + c   [III]

Wyprowadzamy c:

c = 10 - a + b

Podstawiamy do II równania:

10 = 9a + 3b +10 - a + b

0 = 8a + 4b, a więc

b = -2a

c = 10 - 3a

 

Podstawiamy wyznaczone wartości b i c do I równania:

-(-2a)^2 +4a(10 - 3a) = 72a

-4a^2 + 40a - 12a^2 - 72a = 0

-16a^2 - 32a = 0     /:(-16)

a^2 + 2a = 0

a(a+2) = 0

a = 0 lub a = -2

 

Wiemy, że a<0, a więc a = -2, a stąd b = 4, c = 16

 

y = -2x^2 + 4x + 16

 

Doprowadzone do postaci kanonicznej (dzięki uprzejmości basetla :)):

f(x) = -2x^2 + 4x +16 = -2(x^2 -2x+1-1) +16 = -2(x^2 -2x +1) +2+16 = -2(x-1)^2 +18