Witam wszystkich, prosiłabym o rozwiązanie krok po kroku zadania dotyczącego pochodnych cząstkowych .... Question from @Pysia5728

January 2019 1 13 Report

Witam wszystkich, prosiłabym o rozwiązanie krok po kroku zadania dotyczącego pochodnych cząstkowych po x i po y.
$e^{x-y} *( x^{2} -2 y^{2} )$ .

Paawełek Po x (y traktujesz jako stałą)

$\dfrac{\partial}{\partial x}(x,y)= \dfrac{\partial}{\partial x} \left(e^{x-y}\right) \cdot (x^2-2y^2)+ e^{x-y} \cdot \dfrac{\partial}{\partial x} (x^2-2y^2)= \\ \\ = \dfrac{\partial}{\partial x} (x-y) \cdot e^{x-y}(x^2-2y^2)+e^{x-y} \cdot 2x= \\ \\ = e^{x-y}(x^2-2y^2)+2xe^{x-y}= \\ \\ = e^{x-y}(x^2+2x-2y^2)$

po y (x traktujesz jako stałą)

$\dfrac{\partial}{\partial y}(x,y) = \dfrac{\partial}{\partial y} (x-y) \cdot e^{x-y} \cdot (x^2-2y^2) + e^{x-y} \cdot \dfrac{\partial}{\partial y} (x^2-2y^2)= \\ \\ = -e^{x-y}(x^2-2y^2)-4ye^{x-y}= \\ \\ =-e^{x-y}(x^2+4y-2y^2)$
-------------
Jeśli chcesz ekstrema.... Najpierw poszukujemy punktów stacjonarnych (więc przyrównujemy pochodne do 0). Zauważ, że $e^{x-y}$ jest zawsze dodatnie, więc rozwiązujemy układ równań czynników w nawiasie. Tj.:

$-\begin{cases} x^2+2x-2y^2=0 \\ x^2+4y-2y^2=0\end{cases} \\ \\ 2x-4y=0 \\ \\ 2x=4y \\ \\ x=2y \\ \\ \hbox{Podstawiam zaleznosc do dolnego rownania:} \\ \\ (2y)^2+4y-2y^2=0 \\ 2y^2+4y=0 \\ \\ 2y(y+2)=0$

Skąd mam:
$y_1=0 \\ x_1=2y_1=0 \\ \\ \hbox{ORAZ} \\ \\ y_2=-2 \\ x_2=2y_1=-4$

Punkty stacjonarne to P1(0,0) oraz P2(-4, -2)

Teraz sprawdzamy czy rzeczywiście są tam ekstrema... Wyznaczamy następujące drugie pochodne (korzystając już z tych pierwszych)

$\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x} (x,y)\left[ e^{x-y}(x^2+2x-2y^2)\right]= \\ \\ = e^{x-y}(x^2+2x-2y^2)+e^{x-y}(2x+2)= \\ \\ = e^{x-y}(x^2+4x-2y^2+2)$

podstawiając dane z punktu P1 oraz P2 otrzymamy wartość:

$\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}(0,0)=e^{0-0} (0^2+4 \cdot 0-2 \cdot 0^2+2)=2 \\ \\ \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}(-4,-2)=e^{-2}(16-16-8+2)=-6e^{-2}$

Następna pochodna:

$\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}(x,y)= \dfrac{\partial}{\partial y}(x,y) \left[- e^{x-y}(x^2+4y-2y^2)\right]= \\ \\ = e^{x-y}(x^2+4y-2y^2)+e^{x-y}(4y-4)= \\ \\ = e^{x-y}(x^2+8y-2y^2-4)$

I tak samo liczymy wartości w punktach stacjonarnych:

$\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}(0,0) = e^0(0-0+0-4)=-4 \\ \\ \dfrac{\partial^2}{\partial y^2}(-4,-2)=-e^{-2}(16-8-16-4)=-12e^{-2}$

Kolejna pochodna:

$\dfrac{\partial^2}{\partial x \partial y}(x,y)= \dfrac{\partial}{\partial y}(x,y)\left[ e^{x-y}(x^2+2x-2y^2)\right]= \\ \\ = - e^{x-y}(x^2+2x-2y^2)-4ye^{x-y}= \\ \\ = -e^{x-y}(x^2+2x+4y-2y^2)$

I podstawiamy:

$\dfrac{\partial^2}{\partial x \partial y} (0,0) = -e^0(0+0+0-0)=0 \\ \\ \dfrac{\partial^2}{\partial x \partial y} (-4,-2)=-e^{-2}(16-8-8-8)=8e^{-2}$

I ostatnia...

$\dfrac{\partial^2}{\partial y \partial x}(x,y)= \dfrac{\partial}{\partial x}(x,y)\left[ -e^{x-y}(x^2+4y-2y^2)\right]= \\ \\ = -e^{x-y}(x^2+4y-2y^2)-2xe^{x-y}=-e^{x-y}(x^2+2x+4y-2y^2)$

Jest taki sam jak poprzedni więc mamy 0 dla (0,0) oraz 8e^(-2) dla (-4,-2)

Teraz budujemy następujący wyznacznik:

$W= \left[\begin{array}{ccc}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}(x,y)&\dfrac{\partial^2}{\partial y \partial x}(x,y)\\\dfrac{\partial^2}{\partial x \partial y}(x,y)&\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}(x,y)\end{array}\right]$

gdzie (x,y) to współrzędne punktu stacjonarnego. Czyli podstawiamy wyznaczone przez nas wartości. Dla punktu (0,0) otrzymam wyznacznik:

$W= \left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&-4\end{array}\right] =2 \cdot (-4) - 0 \cdot 0 = -8 \ \textless \ 0$

Ponieważ wyznacznik jest ujemny, funkcja nie posiada ekstremum w punkcie (0,0)

To samo dla punktu (-4,-2)

$W= \left[\begin{array}{ccc}-6e^{-2}&8e^{-2}\\8e^{-2}&-12e^{-2}\end{array}\right] =72e^{-4}-64e^{-4}=8e^{-4}\ \textgreater \ 0$

Więc w punkcie (-4,-2) mamy ekstremum bo wyznacznik jest dodatni. Zauważamy, że
$\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}(-4,-2)=-6e^{-2}\ \textless \ 0$
zatem mówimy o maksimum (bo wartość tej pochodnej jest ujemny)

Podstawiamy do funkcji wyjściowej x=-4 oraz y=-2 i mamy:

$f_{\max}(x,y) = f(-4,-2)= e^{-4+2} \cdot (16-8) = 8e^{-2} = \dfrac{8}{e^2}$

1 votes Thanks 1