Question

wyznacz wymiary prostokąta o największym polu wpisanego w półkole o promieniu R=2

Answer 1

2 x - długość prostokąta

y - szerokość prostokąta

R = 2 p(2)

Mamy

P = 2x*y

x^2 + y^2 = R^2

x^2 + y^2 = [ 2 p(2)]^2

x^2 + y^2 = 8

y^2 = 8 - x^2

y = p( 8 - x^2)

zatem

P = 2x*p ( 8 - x^2 ) = p[ 4 x^2 *( 8 - x^2)]

P(x) = p[ 4 x^2 * ( 8 - x^2) ]

Pole jest największe, gdy ten pierwiastek ma największą wartość,

czyli wtedy,  gdy funkcja podpierwiastkowa osiąga maksimum.

Niech

f(x) = 4 x^2 *( 8 - x^2)

-------------------------------

Obliczam pierwszą pochodną funkcji f

f ' (x) = 8x *(8 - x^2) + 4 x^2 * ( - 2x) = 64x - 8 x^3 - 8 x^3 = 64x - 16 x^3

f '(x) = 16x*( 4 - x^2) = 16 x *( 2 - x)*(2 + x) = 0 dla x = 2

x = 0  i  x = - 2  odpada, bo bok nie może mieć długości zerowej lub ujemnej.

Obliczam drugą pochodną funkcji f :

f '' (x) = 64 - 48 x^2

Dla x = 2

f '' (2) = 64 - 48*2^2 = 64 - 48*4 = 64 - 192 = - 128 < 0

zatem funkcja f(x) osiąga maksimum dla x = 2, czyli  i funkcja P(x)

osiąga maksimum dla x = 2.

Prostokąt ma wymiary:

2x = 2*2 = 4

y = p(8 - x^2) = p( 8 - 2^2) = p(8 - 4) = p(4) = 2

Odp.Prostokąt wpisany w półkole o promieniu długości R = 2 p(2)

ma największe pole , gdy ma wymiary  4 jednostki  na  2 jednostki.

========================================================