Question

wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

(m-1)x² + 2(m+1)x + m + 4=0 ma jedno rozwiązanie.

Answer 1

(m - 1)x² + 2·(m + 1)x + m + 4 = 0

 

Dla  m - 1 = 0, czyli dla m = 1 mamy równanie liniowe:

(m - 1)x² + 2·(m + 1)x + m + 4 = 0

(1 - 1)x² + 2·(1 + 1)x + 1 + 4 = 0

4x + 5 = 0

4x = - 5 /:4

x = - ⁵/₄ = - 1¼

Zatem dla m = 1 równanie ma jedno rozwiązanie

 

Dla m ≠ 1 mamy równanie kwadratowe, które ma jedno miejsce zerowe, gdy Δ = 0

a = m - 1; b = 2·(m+1); c = m + 4

 

Δ = b² - 4ac = [ 2·(m+1)]² - 4 · (m - 1) · (m + 4) = 4 · (m + 1)² - 4 · (m² + 4m - m - 4) = 4 · (m² + 2m + 1) - 4 · (m² + 3m - 4) = 4m² + 8m + 4 - 4m² - 12m + 16 = - 4m + 20

 

- 4m + 20 = 0

- 4m = - 20 /:(- 4)

m = 5

Zatem dla m = 5 rówanie ma jedno rozwiązanie

 

Odp. Równanie ma jedno rozwiązanie dla m ∈ {1; 5}