Question

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma dokładnie trzy rozwiązania.

Answer 1

Rozwiązanie z wykorzystaniem wykresu funkcji

I.

Szkicujemy wykres funkcji y = |x² + 4x - 5|, który powstaje z wykresu y = x² + 4x - 5 przez "odbicie" części wykresu znajdującej się poniżej osi OX do góry, czyli:

1) rysujemy parabolę y = x² + 4x - 5

Δ = 4² - 4 · 1 · (- 5) = 16 + 20 = 36; √Δ = 6

Miejsca zerowe:

x₁ = (- b - √Δ) / 2a = (- 4 - 6) / (2 · 1) = - 10 / 2 = - 5

x₂ = (- b + √Δ) / 2a = (- 4 + 6) / (2 · 1) = 2 / 2 = 1

Wspólrzędne wierzchołka W = (p; q)

p = - b / 2a = - 4 / 2 = - 2

q = - Δ / 4a = - 36 / 4 = - 9

W = (- 2; - 9)

2) odbijamy do góry część wykresu paraboli y = x² + 4x - 5 znajdującego się ponieżej osi OX i otrzymujemy wykres funkcji y = |x² + 4x - 5|(patrz załącznik)

 

II

Z wykresu widać, że równanie |x² + 4x - 5| = m ma dokładnie trzy rozwiązania dla m = 9, bo wykresy funkcji y = |x² + 4x - 5| i y = 9 mają trzy wspólne punkty.

 

Odp. m = 9

 

 

Rozwiązanie algebraiczne

|x² + 4x - 5| = m

Zał. m ≥ 0 (wynika to z def. wartości bezwzględnej)

x² + 4x - 5 = m i x² + 4x - 5 = - m

x² + 4x - 5 - m = 0 i x² + 4x - 5 +  m = 0

Zatem, aby równanie |x² + 4x - 5| = m miało dokładnie 3 rozwiązania, to jedno z równań musi mieć dwa rozwiązania, a drugie jedno rozwiązanie.

 

I przypadek

Jeśli równanie x² + 4x - 5 - m = 0 ma dwa rozwiązania, to równanie x² + 4x - 5 +  m = 0 musi mieć jedno rozwiązanie

 

x² + 4x - 5 - m = 0 ma dwa rozwiązania jesli Δ > 0

Δ = 4² - 4 · 1 · (- 5 - m) = 16 - 4 · (- 5 - m) = 16 + 20 + 4m = 36 + 4m

36 + 4m > 0

4m > - 36 /:4

m > - 9

m ∈ (- 9; + ∞)

 

Równanie x² + 4x - 5 +  m = 0 ma jedno rozwiązanie jeśli Δ = 0

Δ = 4² - 4 · 1 · (- 5 + m) = 16 - 4 · (- 5 + m) = 16 + 20 - 4m = 36 - 4m

36 - 4m = 0

- 4m = - 36 /: (- 4)

m = 9

m ∈ {9}

Stąd: m ∈ (- 9; + ∞) n {9} = {9}, czyli m = 9 spełnia założenie m ≥ 0

 

II przypadek

Jeśli równanie x² + 4x - 5 - m = 0 ma jedno rozwiązania, to równanie x² + 4x - 5 +  m = 0 musi mieć dwa rozwiązania

 

x² + 4x - 5 - m = 0 ma jedno rozwiązania jeśli Δ = 0

Δ = 4² - 4 · 1 · (- 5 - m) = 16 - 4 · (- 5 - m) = 16 + 20 + 4m = 36 + 4m

36 + 4m = 0

4m = - 36 /:4

m = - 9

m ∈ {- 9}

 

Równanie x² + 4x - 5 +  m = 0 ma dwa rozwiązania jeśli Δ > 0

Δ = 4² - 4 · 1 · (- 5 + m) = 16 - 4 · (- 5 + m) = 16 + 20 - 4m = 36 - 4m

36 - 4m > 0

- 4m > - 36 /: (- 4)

m < 9

m ∈ (- ∞; 9)

Stąd: m ∈ {- 9} n (- ∞; 9)= {- 9}, czyli m = - 9 nie spełnia założenia m ≥ 0

 

Zatem dla m = 9 rówanie |x² + 4x - 5| = m ma dokładnie 3 rozwiązania

 

Odp. m = 9